Belajar Kaidah Pencacahan

Apa sih kaidah pencacahan itu?

Penjelasannya: 

Untuk lebih jelasnya, kita pelajari contoh soal berikut:

1. Banyaknya bilangan yang terdiri atas 4 angka berbeda yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah..

a. 24

b. 120

c. 360

d. 840

e. 1.296

Jawab:

Angka yang tersedia: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Bilangan yang diinginkan terdiri dari 4 angka yang berbeda, maka kita sediakan 4 kolom:

Kolom ribuan bisa diisi 6 angka

Kolom ratusan, karena sudah dipakai 1 sebagai ribuan, maka tersisa 5 angka

Kolom puluhan, karena sudah dipakai 2 sebagai ribuan dan ratusan, maka tersisa 4 angka

Kolom satuan, karena sudah dipakai 3 angka sebagai ribuan, ratusan, dan satuan, maka tersisa 3 angka.

 Banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda yang mungkin terjadi adalah;

= n1 x n2 x n3 x n4

= 6 x 5 x 4 x 3

= 360

Jawaban yang tepat C.

2. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah…

a. 10

b. 20

c. 40

d. 80

e. 120

Jawab:

Angka yang tersedia: 2, 3, 5, 6, 7, 9

Bilangan yang akan dibuat terdiri dari tiga angka, maka kita siapkan 3 kolom:

Kolom 1, angka yang bisa dipakai untuk menyatakan bilangan lebih kecil dari 400 adalah angka 2, 3 = 2 angka

Kolom 2, karena sudah dipakai 1 angka sebagai ratusan, maka tersisa 5 angka

Kolom 3, karena sudah dipakai 2 angka sebagai ratusan dan puluhan, maka tersisa 4 angka

Banyaknya bilangan yang dapat terbentuk adalah;

= n1 x n2 x n3

= 2 x 5 x 4

= 40

Jadi, jawaban yang tepat C.

3. Dari angka 1, 2, 3, dan 4 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan genap yang terbentuk adalah..

a. 18

b. 16

c. 12

d. 8

e. 6

Jawab:

Angka yang tersedia: 1, 2, 3, 4

Bilangan yang akan dibuat terdiri dari tiga angka, maka kita siapkan 3 kolom:

Kolom 3, angka yang bisa dipakai untuk menyatakan bilangan genap adalah dimulai dari satuannya, yaitu angka 2, 4 = 2 angka

Kolom 2, karena sudah dipakai 1 angka sebagai satuan, maka tersisa 3 angka

Kolom 3, karena sudah dipakai 2 angka sebagai puluhan dan satuan, maka tersisa 2 angka

Banyaknya bilangan yang dapat terbentuk adalah;

= n1 x n2 x n3

= 2 x 3 x 2

= 12

Jadi, jawaban yang tepat C.

4. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah..

a. 20

b. 40

c. 80

d. 120

e. 360

Jawab:

Angka yang tersedia: 1, 2, 3, 5, 6, 7

Bilangan yang akan dibuat terdiri dari 4 angka, maka kita siapkan 4 kolom:

Kolom 1, angka yang bisa dipakai untuk ribuan adalah 6 angka

Kolom 2, karena sudah dipakai 1 angka sebagai ribuan, maka tersisa 5 angka

Kolom 3, karena sudah dipakai 2 angka sebagai ribuan dan ratusan, maka tersisa 4 angka

Kolom 4, karena sudah dipakai 3 angka sebagai ribuan, ratusan, dan puluhan maka tersisa 3 angka

Banyaknya bilangan yang dapat terbentuk adalah;

= n1 x n2 x n3 x n4

= 6 x 5 x 4 x 3 

= 360

Jadi, jawaban yang tepat E.

5. Dari angka 2, 4, 6, 8, dan 9 akan dibuat bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan yang kurang dari 500 adalah..

a. 32

b. 24

c. 16

d. 12

e. 8

Jawab:

Angka yang tersedia: 2, 4, 6, 8, 9

Bilangan yang akan dibuat terdiri dari 3 angka, maka kita siapkan 3 kolom:

Kolom 1, angka yang bisa dipakai untuk ratusan yang dapat menyatakan bilangan kurang dari 500 adalah angka 2, 4 = 2 angka

Kolom 2, karena sudah dipakai 1 angka sebagai ratusan, maka tersisa 4 angka

Kolom 3, karena sudah dipakai 2 angka sebagai ratusan dan puluhan, maka tersisa 3 angka

Banyaknya bilangan yang dapat terbentuk adalah;

= n1 x n2 x n3 

= 2 x 4 x 3 

= 24

Jadi, jawaban yang tepat B.

Cara Menghitung Ragam dan Simpangan Baku

 Hallo.... adik-adik ajar hitung.. kembali lagi nih dengan pembahasan soal yang baru... langsung kita masuk ke materi ya...

A. Ragam

1. Ragam untuk data tunggal

2. Ragam untuk data kelompok

B. Simpangan Baku

1. Data tunggal

2. Data kelompok

Keterangan untuk simbol-simbol di atas adalah:

s² = ragam

s = simpangan baku

x_i = nilai data ke-i

n = ukuran data

x ̅ = rata-rata hitung

Yuk kita latihan soalnya...

1. Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data berikut ini:

Jawab:

Pertama cari rata-rata:

a. ragam

b. simpangan baku

2. Simpangan baku dari data: 4, 8, 6, 5, 6, 7, 5, 5, 7, 7 adalah...

Jawab:

Pertama, cari rata-ratanya dulu:

x ̅ = (4 + 8 + (6 x 2) + (5 x 3) + (7 x 3) : 10 = 60 : 10 = 6

Simpangan baku:

Nah... sekian dulu ya rumus dan latihan soal tentang ragam dan simpangan baku.. sampai bertemu di latihan selanjutnya...

Cara Menghitung Simpangan Kuartil dan Simpangan Rata-rata

A. Simpangan Kuartil

Adik-adik, tahukah kalian? Simpangan kuartil dismbolkan dengan Qd. Apa itu simpangan kuartil? Simpangan kuartil adalah setengah dari jangkauan kuartil atau setengah dari hamparan atau setengah dari jangkauan interkuartil. Rumusnya bisa dituliskan:

B. Simpangan Rata-rata

1. Simpangan rata-rata data tunggal

2. Simpangan rata-rata data kelompok

Yuk kita lihat contoh soalnya:

1. Diketahui data: 12, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 19

Hitunglah simpangan kuartil dari data tersebut!

Jawab:

Banyak data ada 8.

Q2 adalah antara data ke 4 dan data ke 5

Q2 = (16 + 17) : 2 = 33 : 2 = 16,5

Q1 = (14 + 15) : 2 = 29 : 2 = 14,5

Q3 = ((17 + 18) : 2 = 35 : 2 = 17,5

Simpangan Quartil:

Qd = ½ (Q3 – Q1)

      = ½ (17,5 – 14,5)

      = ½ (3)

      = 1,5

2. Berapakah simpangan kuartil dari data: 6, 7, 7, 8, 8 , 8, 9, 9, 10, 11, 12, 13

Jawab:

Banyaknya data = 12

Q2 adalah diantara data ke 6 dan data ke 7

Q2 = (8 + 9) : 2 = 17 : 2 = 8,5

Q1 = (7 + 8) : 2 = 15 : 2 = 7,5

Q3 = (10 + 11) : 2 = 21 : 2 = 10,5

Qd = ½ (Q3 – Q1)

      = ½ (10,5 – 7,5)

      = ½ (3)

      = 1,5

3. Berapakah simpangan kuartil dari data: 7, 5, 10, 20, 13, 8, 2

Jawab:

Urutkan dulu datanya: 2, 5, 7, 8, 10, 13, 20

Banyak data = 7

Q2 adalah data ke 4

Q2 = 8

Q1 = 5

Q3 = 13

Qd = ½ (Q3 – Q1)

      = ½ (13 – 5)

      = ½ (8)

      = 4

4. Tentukan simpangan rata-rata dari data: 32, 23, 28, 26, 20, 11, 22, 8, 17, 13

Jawab:

Pertama, cari rata-rata:

x ̅= (32 + 23 + 28 + 26 + 20 + 11 +  22 + 8 + 17 + 13) : 10 = 200 : 10 = 20

5. Perhatikan tabel berikut:

Simpangan rata-rata dari data di atas adalah...

Jawab:

x ̅ = ((2 x 6) + (3 x 9) + (4 x 5) + (5 x 7) + (6 x 3)) : 30 

= (12 + 27 + 20 + 35 + 18) : 30

= 112 : 30

= 3,7

Oke.. semoga kalian semakin paham ya dengan 2 materi ini.. sampai bertemu di materi-materi selanjutnya...

Cara Menghitung Jangkauan dan Jangkauan Interkuartil (Hamparan)

 A. Jangkauan

Hai adik-adik ajar hitung... apa sih jangkauan itu? Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum. Jadi, rumus Jangkauan bisa kita tuliskan:

Trus, gimana kalau rumus untuk data kelompok?

1. Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah

2. Jangkauan bisa juga dihitung dengan mencari selisih antara titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.

B. Jangkauan Interkuartil

Sering disebut juga rentang interkuartil (Interquartil Range), disebut juga Hamparan (H) yaitu selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Dituliskan:

Yuk kita latihan soalnya...

1. Diketahui data: 12, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 19

Hitunglah jangkauan dan jangkauan interkuartilnya!

Jawab:

Data tertinggi = 19

Data terendah = 12

Jangkauan = 19 – 12 = 7

Q1 = (14 + 15) : 2 = 29 : 2 = 14,5

Q3 = (17 + 18) : 2 = 35 : 2 = 17,5

Jangkauan interkuartil = Q3 – Q1 = 17,5 – 14,5 = 3

2. Berapakah jangkauan dari data: 6, 7, 7, 8, 8 , 8, 9, 9, 10, 11, 12, 13

Jawab:

Data tertinggi = 13

Data terendah = 6

Jangkauan = 13 – 6 = 7

3. Berapakah hamparan dari data: 7, 5, 10, 20, 13, 8, 2

Jawab:

Kita urutkan dulu datanya:

2, 5, 7, 8, 10, 13, 20

Q2 = 8

Q1 = 5

Q3 = 13

Hamparan = Q3 – Q1 = 13 – 5 = 8

4. Tentukan jangkauan dari data: 32, 23, 28, 26, 20, 11, 15, 22, 8, 17, 13

Jawab:

Data tertinggi = 32

Data terendah = 8

Jangkauan = 32 – 8 = 24

5. Perhatikan tabel berikut:

Jangkauan interkuartil dari data di atas adalah...

Jawab:

Q1 adalah data ke 8 = 3

Q3 adalah data ke 23 = 5

Jangkauan interkuartil = 5 – 3 = 2

6. Perhatikan data pada tabel berikut:

Jangkauan dari data di atas adalah...

Jawab:

Nilai tengah kelas pertama = (6 + 10) : 2 = 16 : 2 = 8

Nilai tengah kelas terakhir = (26 + 30) : 2 = 56 : 2 = 28

J = Titik tengah kelas tertinggi – Titik tengah kelas terendah

J = 28 – 8 = 20

Demikianlah penjelasan kakak hari ini ya... sampai bertemu lagi di latihan-latihan selanjutnya...

Soal Pilihan Ganda dan Pembahasan Tentang Barisan dan Deret Kelas XI

Hallo adik-adik ajar hitung... selamat datang di latihan soal bersama ajar hitung.. hari ini kita mau latihan soal tentang barisan dan deret. Yuk siapkan alat tulis kalian...

Kalian bisa pelajari materi ini melalui chanel youtube ajar hitung ya.. yuk klik link video berikut..:

1. Rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan: 2, 4, 8, 16, 32, ... adalah....

a. 2n

b. 2n + 2

c. 2n2

d. n2

e. 2n – 2

Jawab:

U1 = 2 = 21

U2 = 4 = 22

U3 = 8 = 23

U4 = 16 = 24

U5 = 32 = 25

Maka, rumus suku ke-n nya adalan 2n

Jawaban yang tepat A.

2. Suku ke-24 dari barisan aritmetika 6, 9, 12, 15, ... adalah...

a. 65

b. 75

c. 85

d. 95

e. 105

Jawab:

U1 = a = 6

U2 = 9

b = U2 – U1 = 9 - 6 = 3

Un = a + (n – 1)b

U24 = 6 + (24 – 1)3

= 6 + 23(3)

= 6 + 69

= 75

Jadi, suku ke-24 = 75

Jawaban yang tepat B.

3. Suku ke-5 pada sebuah deret aritmatika diketahui 21. Jika suku ke-17 deret tersebut sama dengan 81, maka jumlah 25 suku pertamanya adalah...

a. 1.495

b. 1.500

c. 1.505

d. 1.520

e. 1.525

Jawab:

U5 = 21

a + (5 – 1)b = 21

a + 4b = 21 ..... (persamaan i)

U17 = 81

a + (17 – 1) b = 81

a + 16b = 81 ... (persamaan ii)

Eliminasikan persamaan i dan ii:

Subtitusikan b = 5 dalam persamaan a + 4b = 21

a + 4(5) = 21

a + 20 = 21

a = 21 – 20

a = 1

Jumlah 25 suku pertama:

Sn = n/2( 2a + (n – 1)b)

S25 = 25/2 (2(1) + (25 – 1)5)

= 25/2 (2 + 120)

= 25/2 (122)

= 25 (61)

= 1.525

Jawaban yang tepat E.

4. Diketahui sebuah barisan bilangan 5, 9, 13, 17, ...

Rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan tersebut adalah...

a. Un = 4 + n

b. Un = 3 + 2n

c. Un = 2 + 3n

d. Un = 1 + 4n

e. Un = -1 + 6n

Jawab:

U1 = a = 5

Beda = b = U2 – U1 = 9 – 5 = 4

Un = a + (n – 1) b

Un = 5 + (n – 1) 4

Un = 5 + 4n – 4

Un = 1 + 4n

Jawaban yang tepat D.

5. Jumlah 6 suku pertama dari deret ½ + ¼ + 1/8 + ... adalah...

a. 63/64

b. -63/64

c. 64/3

d. -64/63

e. 32/63

Jawab:

U1 = a = ½ 

Raiso = r = U2/U1 = ¼ / ½ = ¼ x 2/1 = ½ 

Jawaban yang tepat A.

6. Suku ke-n sebuah deret aritmatika dirumuskan dengan Un = 5 – 3n. Jumlah 16 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah...

a. -268

b. -328

c. -464

d. -568

e. -768

Jawab:

Sn = n/2 (a + Un)

Suku pertama = U1 = a = 5 – 3(1) = 5 – 3 = 2

U16 = 5 – 3(16) = 5 – 48 = -43

S16 = 16/2 (2 + (-43))

= 8 (2 – 43)

= 8 (- 41)

= -328

Jawaban yang tepat B.

7. Suku ke-3 dan ke-8 sebuah barisan aritmatika diketahui berturut-turut 20 dan 40. Suku pertama dan beda barisan aritmatika tersebut berturut-turut adalah...

a. 4 dan 12

b. 12 dan 4

c. -12 dan 4

d. 3 dan 9

e. 9 dan 3

Jawab:

U3 = 20

a + (n – 1) b = Un

a + (3 – 1) b = 20

a + 2b = 20 ... (persamaan i)

U8 = 40

a + (n – 1)b = 40

a + (8 – 1)b = 40

a + 7b = 40 ... (persamaan ii)

Eliminasikan persamaan i dan ii:

Subtitusikan b = 4 dalam persamaan a + 2b = 20

a + 2(4) = 20

a + 8 = 20

a = 20 – 8

a = 12

Jadi, suku pertamanya = 12 dan bedanya 4.

Jawaban yang tepat B.

8. Jika pada sebuah deret aritmatika diketahui U1 + U2 + U3 = -9 dan U3 + U4 + U5 = 15, jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah...

a. 5

b. 10

c. 15

d. 20

e. 25

Jawab:

U1 + U2 + U3 = -9

a + (a + b) + (a + 2b) = -9

3a + 3b = -9

a + b = -3 ... (persamaan i)

U3 + U4 + U5 = 15

(a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 15

3a + 9b = 15

a + 3b = 5.... (persamaan ii)

Eliminasikan persamaan i dan ii:

Subtitusikan b = 4 dalam persamaan a + b = -3

a + 4 = -3

a = -3 – 4

a = -7

Maka, U5 = a + 4b = -7 + 4(4) = -7 + 16 = 9

Jumlah suku ke-5 adalah:

S5 = 5/2 (a + U5)

     = 5/2 (-7 + 9)

     = 5/2 (2)

     = 5

Jawaban yang tepat A.

9. Banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang terletak antara 21 dan 99 ada...

a. 19 buah

b. 18 buah

c. 17 buah

d. 16 buah

e. 15 buah

Jawab:

25, 30, 35, ......, 95

Suku pertama = a = 25

Beda = b = U2 – U1 = 30 – 25 = 5

Kita hitung banyaknya n atau banyaknya bilangan dalam deret tersebut:

Un = a + (n – 1)b

95 = 25 + (n – 1)5

95 = 25 + 5n – 5

95 = 20 + 5n

5n = 95 – 20

5n = 75

n = 75/5

n = 15

Jadi, banyaknya bilangan adalah 15 buah.

Jawaban yang tepat E.

10. Suku ke-5 dan suku ke-8 suatu barisan aritmatika berturut-turut 22 dan 34. Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah...

a. 4n + 2

b. 4n – 2

c. 4n + 10

d. 2n² + 4n

e. 4n² + 4n

Jawab:

Un = a + (n – 1)b

22 = a + (5 – 1) b

a + 4b = 22 .... (persamaan i)

Un = a + (n – 1)b

34 = a + (8 – 1) b

a + 7b = 34 ... (persamaan ii)

Eliminasikan persamaan i dan ii:

Subtitusikan b = 4 dalam persamaan a + 4b = 22

a + 4(4) = 22

a = 22 – 16

a = 6

Selanjutnya cari rumus Sn:

Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)

Sn = n/2 (2(6) + (n - 1)4)

     = n/2 (12 + 4n – 4)

     = n/2 (8 + 4n)

     = 4n + 2n2

Jadi, jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah 4n + 2n² atau 2n² + 4n

Jawaban yang tepat D.

11. Lima suku pertama dari barisan aritmatika yang diketahui rumus umum suku ke-n-nya Un = 3n + 3 adalah...

a. 3, 6, 9, 12, 15

b. 4, 7, 11, 15, 18

c. 6, 9, 12, 15, 18

d. 0, 3, 6, 9, 12

e. 6, 12, 18, 24, 30

Jawab:

Un = 3n + 3

U1 = 3(1) + 3 = 3 + 3 = 6

U2 = 3(2) + 3 = 6 + 3 = 9

U3 = 3(3) + 3 = 9 + 3 = 12

U4 = 3(4) + 3 = 12 + 3 = 15

U5 = 3(5) + 3 = 15 + 3 = 18

Jawaban yang tepat C.

12. Suku keempat dari deret geometri yang diketahui rumus jumlah n suku pertamanya Sn = 2ⁿ  – 1 adalah...

a. 4

b. 5

c. 6

d. 7

e. 8

Jawab:

Suku pertama = a = 2¹  – 1 = 2 – 1 = 1

Jumlah 2 suku = 2²  – 1 = 4 – 1 = 3

Jadi, suku kedua = 3 – 1 = 2

Rasio  = U2/U1 = 2/1 = 2

U4 = a. r n-1

      = 1 . 2 4-1

      = 1 . 23

      = 1. 8

      = 8

Jawaban yang tepat E.

13. Rumus yang benar untuk suku ke-n dari barisan aritmatika 4, 10, 16, ... adalah...

a. 4 + 6n

b. 4 + 3n

c. 4 + 2n

d. 6n – 2

e. 6n + 2

Jawab:

Suku pertama = a = 4

Beda = U2 – U1 = 10 – 4 = 6

Un = a + (n – 1)b

      = 4 + (n – 1)6

      = 4 + 6n – 6

      = 6n – 2

Jawaban yang tepat D.

14. Rumus umum suku ke-n dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dirumuskan dengan Sn = n²  – 3n adalah...

a. Un = 2n – 4

b. Un = 4n – 2

c. Un = -2 + 2n

d. Un = -2 – 4n

e. Un = 2 – 4n

Jawab:

Sn = n²  – 3n

Suku pertama = a = 1²  – 3(1) = 1 – 3 = -2

Jumlah 2 suku pertama = 2²  – 3(2) = 4 – 6 = -2

Suku ke-2 = -2 – (-2) = 0

Beda = b = U2 – U1 = 0 – (-2) = 2

Un = a + (n – 1)b

      = -2 + (n – 1) 2

      = -2 + 2n – 2

      = 2n – 4

Jawaban yang tepat A.

15. Diketahui suku pertama dan suku ketujuh, dari sebuah deret aritmatika berturut-turut 4 dan 16. Jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut adalah...

a. 50

b. 25

c. 100

d. 130

e. 150

Jawab:

U1 = a = 4

U7 = 16

a + (n – 1)b = 16

a + (7 – 1)b = 16

a + 6b = 16

Subtitusikan a = 4 dalam persamaan a + 6b = 16

4 + 6b = 16

6b = 16 – 4

6b = 12

b = 12/6

b = 2

Jadi, jumlah 10 suku pertama:

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b

S10 = 10/2 (2 (4) + (10 – 1)2)

= 5 (8 + 9 (2))

= 5 (8 + 18)

= 5 (26)

= 130

Jawaban yang tepat D.

16. Rasio barisan geometri sebesar 2 dan suku ke-8 adalah 384, maka suku ke-5 adalah...

a. 40

b. 48

c. 56

d. 61

e. 72

Jawab:

r = 2

U8 = 384

Un = a . r ^n-1

a . 2 ^8-1 = 384

a.2⁷ = 384

128 a = 384

a = 384/128

a = 3

Un = a . r ^n-1

U5 = 3 . 2 ^5-1

= 3. 2⁴

= 3 . 16

= 48

Jawaban yang tepat B.

17. Pada deret geometri diketahui U2 = 24 dan U5 = 648. Rumus jumlah n suku pertama adalah...

a.     Sn = 2(5ⁿ – 1)

b.    Sn = 4(4ⁿ)

c.    Sn = ½ (3ⁿ – 1)

d.    Sn = 3(^{4n – 1})

e.    Sn = 4(3ⁿ – 1)

Jawab:

Cari a dengan cara subtitusikan ke ke a.r¹ = 24

a.3 = 24

a = 24/3

a = 8

Jawaban yang tepat E.

18. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri. Jika hasil kalinya adalah 512 dan jumlahnya 28, maka rasio deret tersebut adalah...

a. 3 atau 1/3

b. 3 atau ½

c. 3 atau 2

d. 2 atau ½

e. 2 atau 1/3

Jawab:

Misal deret itu adalah: a, ar, ar²

a (ar) (ar² ) = 512

a³ r³ = 512

(ar)³ = 512

ar = ∛512

ar = 8

a = 8/r

Jumlah ketiganya 28:

a + (ar) + (ar² ) = 28

8/r + 8 + (8/r . r²) = 28

8/r + 8 + 8r – 28 = 0

8/r – 20 + 8r = 0 (kalikan dengan r)

8 – 20r + 8r2 = 0

8r² – 20r + 8 = 0 (bagi dengan 4)

2r² – 5r + 2 = 0

(2r – 1)(r – 2) = 0

2r – 1 = 0    atau r – 2 = 0

2r = 1         r = 2

r = ½ 

Jadi, rasionya 2 atau ½ 

Jawaban yang tepat D.

19. Diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret aritmatika tersebut adalah...

a. 3.250

b. 2.650

c. 1.625

d. 1.325

e. 1.225

Jawab:

U3 = 13

a + (3 – 1)b = 13

a + 2b = 13 .... (persamaan i)

U7 = 29

a + (7 – 1)b = 29

a + 6b = 29 ... (persamaan ii)

Eliminasikan persamaan ii dan i:

Subtitusikan b = 4 dalam persamaan a + 2b = 13

a + 2(4) = 13

a + 8 = 13

a = 13 – 8

a = 5

Lalu cari jumlah 25 suku yang pertama:

Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)

S25 = 25/2 (2 (5) + (25 – 1)4)

= 25/2 (10 + (24 . 4)

= 25/2 (10 + 96)

= 25/2 (106)

= 25 (53)

= 1.325

Jawaban yang tepat D.

20. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan Sn = 3²ⁿ  – 1. Rasio deret tersebut adalah...

a. 9

b. 7

c. 4

d. 1/8

e. 1/9

Jawab:

Suku pertama = S1 = 3²ⁿ  – 1 = 3².1 – 1 = 9 – 1 = 8

Jumlah 2 suku pertama = S2 = 3²ⁿ – 1 = 3^2.2  – 1 = 81 – 1 = 80

Suku kedua = 80 – 8 = 72

Rasio = U2/U1 = 72/8 = 9

Jawaban yang tepat A.

Nah... sampai disini ya latihan kita tentang barisan dan deret geometri.. sampai bertemu lagi di latihan soal yang akan datang...

Cara Menghitung Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan Linear dan Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Hallo... kalian yang sedang kesulitan dengan materi tentang pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat... latihan soal ini adalah jawaban dari kegundahan kalian... yuk kita mulai latihannya.. siapkan alat tulis kalian...

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 3 ≤ 2x + 3 adalah...

a. x < 3

b. x ≤ 3

c. x < -3

d. x ≤ -3

e. x ≤ 0

Jawab:

4x – 3 ≤ 2x + 3

4x – 2x ≤ 3 + 3

2x ≤ 6

x ≤ 6/2

x ≤ 3

Jawaban yang tepat B.

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah....

a. x ≤ 6

b. x ≤ 7

c. x ≥ 4

d. x ≥ 6

e. x ≥ 7

Jawab:

  (semua kalikan 6)

2(x – 1) + 3 ≤ 3x – 6

2x – 2 + 3 ≤ 3x – 6

2x + 1 ≤ 3x - 6

2x – 3x ≤ -6 – 1

-x ≤ -7

x ≥ -7/-1

x ≥ 7

Jawaban yang tepat E.

3. Jika pertidaksamaan 2x – a > ½ (3x – 1) + ax mempunyai penyelesaian x > 5, maka nilai a yang memenuhi adalah...

a. – ¾

b. – 3/8

c. ½ 

d. ¼ 

e. ¾ 

Jawab:

x > 5, maka misal x = 6. Kita Subtitusi x = 6 ke pertidaksamaan:

2x – a > ½ (3x – 1) + ax

2(6) – a = ½ (3(6) – 1) + a(6)

12 – a = ½ (18 – 1) + 6a

12 – a = ½ . 17 + 6a

12 – a = 8,5 + 6a

-a – 6a = 8,5 – 12

-7a = -3,5

a = -3,5/-7

a = ½ 

Jawaban yang tepat C.

4. Penyelesaian dari pertidaksamaan: 3x² – 8x + 7 > 2x² – 3x + 1 adalah...

a. 2 < x < 3

b. 2 < x < 5

c. -3 < x < -2

d. x < 2 atau x > 3

e. x < -3 atau x > -2

Jawab:

3x² – 8x + 7 > 2x² – 3x + 1

3x² – 2x² – 8x + 3x + 7 – 1 > 0

x² – 5x + 6 > 0

(x – 2)(x – 3) > 0

x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = 2     x = 3

Jadi, nilai HP = x < 2 atau x > 3

Jawaban yang tepat D.

5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2) adalah...

a. {x | 2 ≤ x ≤ 3}

b. {x | x ≤ 2 atau x ≥ 3}

c. {x | -2 ≤ x ≤ 1}

d. {x | -1 ≤ x ≤ 2}

e. {x | x ≤ -1 atau x ≥ 2}

Jawab:

(x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2) 

3x – x² – 6 + 2x ≥ 4x – 8

-x² + 3x + 2x – 4x – 6 + 8 ≥ 0

-x² + x + 2 ≥ 0

(-x + 2)(x + 1) ≥ 0

-x + 2 = 0 atau x + 1 = 0

x = 2             x = -1

Jadi, HP = {x | -1 ≤ x ≤ 2}

Jawaban yang tepat C.

6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (x² + 2)² – 5(x² + 2)  > 6 adalah....

a. x < -1 atau x > 6

b. x < -5 atau x > 2

c. x < -2 atau x > 6

d. x < -2 atau x > 5

e. x < -2 atau x > 2

Jawab:

(x² + 2)² – 5(x² + 2) > 6

Misal x² + 2 = p

p² – 5p > 6

p² – 5p – 6 > 0

(p – 6)(p + 1) > 0

p – 6 = 0 atau p + 1 = 0

p = 6     p = -1

Untuk p = 6, nilai x nya:

x² + 2 = p

x² + 2 = 6

x² = 6 – 2

x² = 4

x = √4

x = ± 2

Untuk p = -1, nilai x nya:

x² + 2 = p

x² + 2 = -1

x² = -1 – 2

x22 = -3

x tidak ada yang memenuhi

Jadi, HP = x < -2 atau x > 2

Jawaban yang tepat E.

7. Jika {x ϵ R | a < x < b} merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x – 1)² +< 6, maka nilai a + b sama dengan...

a. 4

b. 2

c. 1

d. -2

e. -4

Jawab:

(x – 1)² + <6

Misal, x – 1 = p

p²+ < 6

p² + p < 6

p² + p – 6 < 0

(p – 2)(p + 3) < 0

p – 2 = 0 atau p + 3 = 0

p = 2      p = -3

Untuk p = 2, nilai x nya:

x – 1 = p

x – 1 = 2

x = 2 + 1

x = 3

Untuk p = -3

x – 1 = p

x – 1 = -3

x = -3 + 1

x = -2

Karena a < x < b, maka dapat kita tentukan bahwa nilai a = -2 dan b = 3

Maka, nilai a + b = -2 + 3 = 1

Jawaban yang tepat C.

8. Diketahui persamaan parabola y = 2x² + 4x – 6 dan garis y = x – 4. Agar parabola berada di atas garis, maka batas minimal nilai x yang memenuhi adalah...

a. -2 < x < ½ 

b. x < -2 atau x > ½ 

c. – ½ < x < 2

d. x < - ½ atau x > 2

e. ½ < x < 2

Jawab:

y = 2x² + 4x – 6 (subtitusi y dengan y = x – 4)

x – 4 = 2x² + 4x – 6

2x² + 4x – x – 6 + 4 = 0

2x² + 3x – 2 = 0

Karena parabola di atas garis, artinya tidak memotong ataupun menyinggung, maka:

2x² + 3x – 2 < 0

(2x – 1)(x + 2) = 0

2x – 1 = 0    atau x + 2 = 0

2x = 1          x = -2

x = ½ 

Jadi, batas nilai x adalah -2 < x < ½ 

Jawaban yang tepat A.

9. Garis bilangan yang memenuhi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x²  – 6x – 7 ≥ 0 adalah...

Jawab:

x² – 6x – 7 ≥ 0

(x – 7)(x + 1) = 0

x – 7 = 0 atau x + 1 = 0

x = 7       x = -1

Jawaban yang tepat B.

10. Garis bilangan yang merupakan himpunan penyelesaian dari kedua pertidaksamaan x² – 9 < 0 dan 2x – 4 ≥ 0 adalah...

Jawab:

x² – 9 < 0 dan 2x – 4 ≥ 0

x² – 9 < 0

x² < 9

x < √9

x < ± 3

Untuk 2x – 4 ≥ 0

2x ≥ 4

x ≥ 4/2

x ≥ 2

Jawaban yang tepat D.

11. Nilai x yang memenuhi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x²  – x – 6 ≥ 0, dinyatakan dalam notasi...

a. {x | x < - 2 dan x > x ϵ R }

b. {x | x ≤ - 2 dan x ≥  x ϵ R }

c. {x | x ≤   dan x ≥ 2, x ϵ R }

d. {x |   ≤ x ≤ 2, x ϵ R }

e. {x | -2  ≤ x ≤  x ϵ R }

Jawab:

2x² – x – 6 ≥ 0

(2x + 3)(x – 2) ≥ 0

2x + 3 = 0 atau x – 2 = 0

2x = -3             x = 2

x = -3/2 

x = 

Jadi, HP nya = {x | x ≤   dan x ≥ 2, x ϵ R}

Jawaban yang tepat C.

12. Notasi pembentuk himpunan dari penyelesaian pertidaksamaan 6x – 9 < 0 adalah...

a. { x | x <  x ϵ R }

b. { x | x ≤  x ϵ R }

c. { x | x >  x ϵ R }

d. { x | x ≥  x ϵ R }

e. { x | x < , x ϵ R }

Jawab:

6x – 9 < 0

6x < 9

x < 9/6

x < 

Jadi, notasi pembentuk himpunannya = { x | x <  x ϵ R}

Jawaban yang tepat A.

Perhatikan gambar berikut! (untuk soal nomor 13 – 15)

13. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan dua variabel linear kuadrat x – 4y ≤ -4; x²  – 4x + 4 ≥ y; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah...

a. VI

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan arsirannya:

x – 4y ≤ -4 yang diarsir biru

x²  – 4x + 4 ≥ y yang diarsir merah

Jadi, HP ditunjukkan oleh angka III.

Jawaban yang tepat C.

14. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan dua variabel linear kuadrat x – 4y ≥ -4; x²  – 4x + 4 ≥ y; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah...

a. VI

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan arsirannya:

x – 4y ≥ -4 yang diarsir biru

x²  – 4x + 4 ≥ y yang diarsir merah

Jadi, HP nya daerah VI

Jawaban yang tepat A.

15. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan dua variabel linear kuadrat x – 4y ≥ -4; x²  – 4x + 4 ≤ y; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah...

a. VI

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan arsirannya:

x – 4y ≥ -4 yang diarsir biru

x²  – 4x + 4 ≤ y yang diarsir merah

Jadi, HP nya daerah V.

Jawaban yang tepat E.

16. Perhatikan gambar di bawah ini!

Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian dari...

a. x² – y ≤ -4 dan x² + y ≤ 9

b. x² – y ≥ -4 dan x² + y ≤ 9

c. x² – y ≥ -4 dan x² + y ≥ 9

d. x² + y ≤ -4 dan x² - y ≥ 9

e. x² + y ≤ -4 dan x² + y ≤ 9

Jawab:

Persamaan parabola yang pertama (yang di atas): melalui puncak (0, 9) dan titik (3, 0)

y = a(x – p)² + q

0 = a(3 – 0)² + 9

0 = 9a + 9

9a = -9

a = -9/9

a = -1

Maka, persamaannya menjadi y = -1(x – 0)² + 9

y = -x² + 9 atau x2 + y = 9

Karena yang diarsir di bawah kurva, maka pertidaksamaannya menjadi: x² + y ≤ 9

Persamaan parabola yang kedua (yang di bawah): melalui puncak (0, -4) dan titik (2, 0)

y = a(x – p)² + q

0 = a(2 – 0)² - 4

0 = 4a - 4

-4a = -4

a = -4/-4

a = 1

Maka, persamaannya menjadi y = 1(x – 0)² - 4

y = x² - 4 atau x² - y = 4

Karena yang diarsir di atas kurva, maka pertidaksamaannya menjadi: x² - y ≤ 4

Jadi, pertidaksamaannya adalah: x² - y ≤ 4 dan x² + y ≤ 9

Jawaban yang tepat A.

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor 17 – 19!

17. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat (KK) x² – 6x + 9 ≤ y; -x² + 2x + 8 ≤ y ditunjukkan oleh nomor...

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan daerah arsiran:

x² – 6x + 9 ≤ y diarsir warna biru

-x² + 2x + 8 ≤ y diarsir warna merah

Jadi, HP ditunjukkan oleh nomor IV (yang kena arsir merah dan biru).

Jawaban yang tepat D.

18. x² – 6x + 9 ≤ y; -x² + 2x + 8 ≥ y memiliki daerah penyelesaian dengan nomor...

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan daerah arsiran:

x² – 6x + 9 ≤ y diarsir warna biru

-x² + 2x + 8 ≥ y diarsir warna merah

HP ditunjukkan oleh daerah III (yang kena arsir biru dan merah)

Jawaban yang tepat C.

19. Sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat (KK) x²  – 6x + 9 ≥ y; -x²  + 2x + 8 ≥ y memiliki daerah penyelesaian dengan nomor...

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan daerah arsiran:

x² – 6x + 9 ≥ y diarsir warna biru

-x²  + 2x + 8 ≥ y diarsir warna merah

HP ditunjukan oleh daerah II (yang terkena arsiran merah dan biru)

Jawaban yang tepat B.

20. Sebuah roket ditembakkan ke atas dan setelah t detik mencapai ketinggian h meter. Ketinggian roket tersebut ditentukan dengan rumus h(t) = 150t – 5t². Waktu yang diperlukan roket untuk mencapai ketinggian tidak kurang dari 1.000 meter adalah...

a. 10 – 20 detik

b. 20 – 30 detik

c. 30 – 40 detik

d. 40 – 50 detik

e. > 50 detik

Jawab:

h(t) = 150t – 5t²

150t – 5t² ≥ 1.000

-5t² + 150t – 1.000 ≥ 0 (bagi dengan 5)

t² – 30t + 200 ≥ 0

(t – 20)(t – 10) ≥ 0

t – 20 = 0 atau t – 10 = 0

t = 20     t = 10

Jadi, waktu yang diperlukan roket untuk mencapai ketinggian tidak kurang dari 1.000 meter adalah 10 – 20 detik.

Jawaban yang tepat A.

21. Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah...

a. 0 ≤ x ≤ 4

b. 0 ≤ x ≤ 2

c. 2 ≤ x ≤ 4

d. x ≥ 2

e. x ≤ 4

Jawab:

 (kuadratkan)

2x – 4 ≤ 4

2x ≤ 4 + 4

2x ≤ 8

x ≤ 8/2

x ≤ 4

Jawaban yang tepat E.

22. Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan himpunan penyelesaian dari...

a. x²  + y ≥ 1 ; x²   + x + y ≤ 2 ; x ≤ 0 ; y ≥ 0

b. x²  + y ≥ 1 ; x²   + x + y ≤ 2 ; x  ≥ 0 ; y ≥ 0

c. x²  + y ≥ 1 ; x²   + x + y ≥ 2 ; x ≤ 0 ; y ≥ 0

d. x²  + y ≤ 1 ; x²   + x + y ≤ 2 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

e. x²  - y ≥ 1 ; x²   + x + y ≥ 2 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Jawab:

Persamaan kurva yang pertama, yang memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (1, 0) juga melalui titik (0, 2) adalah:

y = a (x – x1)(x – x2)

2 = a (0 + 2)(0 – 1)

2 = a (2) (-1)

2 = -2a

a = -2/2

a = -1

Sehingga, persamaannya menjadi:

y = -1 (x + 2)(x – 1)

y = -1 (x²  + x – 2)

y = -x²  – x + 2

x² + x + y = 2

Karena yang diarsir di bawahnya, maka pertidaksamaannya menjadi:

x² + x + y ≤ 2

Persamaan kurva yang kedua, melalui titik puncak (0, 1) dan titik (1, 0) adalah:

y = a (x – p)²  + q

0 = a (1 – 0)²  + 1

0 = a (1) + 1

0 = a + 1

a = -1

Sehingga persamaan kurvanya menjadi:

y = -1 (x – 0)²  + 1

y = -x²  + 1

x² + y = 1

Karena yang diarsir di bawah kurva, maka pertidaksamaannya menjadi: x²  + y ≤ 1

Jadi, pertidaksamaannya terdiri dari: x²  + y ≤ 1 ; x²   + x + y ≤ 2 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Jawaban yang tepat D.

23. Umur kakak sekarang ditambah kuadrat umur adik sekarang tidak kurang dari 9 tahun. Satu tahun yang lalu, kuadrat dari umur adik dikurangi umur kakak tidak lebih dari 17 tahun. Sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah...

a. x²  + y ≤ 9 ; x²  – 2x – y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

b. x²  + y ≥ 9 ; x²  – 2x – y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

c. x²  + y ≥ 9 ; x²  – 2x – y ≥ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

d. x²  + y ≤ 9 ; x²  – 2x – y ≥ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

e. x²  + y ≤ 9 ; x²  – 2x – y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Jawab:

Umur kakak = y

Umur adik = x

x² + y ≥ 9 (persamaan pertama)

(x – 1)²  – (y – 1) ≤ 17

x² – 2x + 1 – y + 1 ≤ 17

x² – 2x – y + 2 ≤ 17

x² – 2x – y ≤ 17 – 2

x² – 2x – y ≤ 15 (persamaan kedua)

Jadi, sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah: x²  + y ≥ 9 ; x²  – 2x – y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Jawaban yang tepat B.

24. Perhatikan gambar berikut!

Daerah yang diarsir pada gambar, merupakan himpunan penyelesaian dari...

a. x² – y ≥ 4; x² + 2x + y ≥ 3; x ≥ 0; y ≥ 0

b. x² + y ≥ 4; x² + 2x + y ≤ 3; x ≥ 0; y ≥ 0

c. x² – y ≥ 4; x² + 2x + y ≤ 3; x ≤ 0; y ≥ 0

d. x² – y ≤ 4; x² + 2x + y ≥ 3; x ≥ 0; y ≤ 0

e. x² + y ≤ 4; x² + 2x + y ≥ 3; x ≤ 0; y ≥ 0

Jawab:

Persamaan kurva yang pertama, yang memotong sumbu x di titik (-3, 0) dan (1, 0) juga melalui titik (0, 3) adalah:

y = a (x – x1)(x – x2)

3 = a (0 + 3)(0 – 1)

3 = a (3) (-1)

3 = -3a

a = 3/-3

a = -1

Sehingga, persamaannya menjadi:

y = -1 (x + 3)(x – 1)

y = -1 (x² + 2x – 3)

y = -x² – 2x + 3

x² + 2x + y = 3

Perhatikan bagian yang diarsir, maka pertidaksamaannya menjadi:

x² + 2x + y ≤ 3

Persamaan kurva yang kedua, yang memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (2, 0) juga melalui titik (0, -4) adalah:

y = a (x – x1)(x – x2)

-4 = a (0 + 2)(0 – 2)

-4 = a (2) (-2)

-4 = -4a

a = -4/-42

a = 1

Sehingga, persamaannya menjadi:

y = 1 (x + 2)(x – 2)

y = 1 (x² – 4)

y = x² – 4

x² - y = 4

Perhatikan daerah yang diarsir, maka pertidaksamaannya menjadi:

x² - y ≥ 4

Jadi, daerah HP dibatasai oleh pertidaksamaan: x² – y ≥ 4; x² + 2x + y ≤ 3; x ≤ 0; y ≥ 0

Jawaban yang tepat C.

25. Perhatikan gambar berikut!

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x² – 2x – y ≤ -1; x² – 2x + y ≥ 3, dan x ≥ 0 adalah...

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan daerah yang diarsir:

x² – 2x – y ≤ -1 diarsir warna biru

x² – 2x + y ≥ 3 diarsir warna merah

HP ditunjukkan oleh daerah nomor 1 (karena mendapatkan 2 arsiran merah dan biru)

Jawaban yang tepat A.

Baiklah... sampai nomor 30 saja ya latihan kita hari ini.. sampai bertemu di latihan soal selanjutnya adik-adik...