--> AJAR HITUNG | Soal pembahasan matematika SD, SMP, SMA

AJAR HITUNG

Soal & pembahasan Matematika SD, SMP & SMA

Monday, 28 November 2022

Cara Mencari Nilai Maksimum Fungsi Objektif pada Program Linear

Cara Mencari Nilai Maksimum Fungsi Objektif pada Program Linear

Ingatkah kalian bagaimana cara menentukan nilai maksimum suatu fungsi obyektif pada program linear?

Kakak ingatkan lagi ya, langkah-langkah untuk menentukan nilai maksimum suatu fungsi obyektif pada program linear:

1. Membuat gambar dari fungsi kendala (fungsi pembatas)

2. Menentukan nilai fungsi sasaran (objektif) di titik pojok daerah penyelesaian


Ada materi terdahulu yang perlu kalian kuasai sebelum masuk ke bab ini, yaitu: Rumus persamaan garis yang melalui titik (a, 0) dan (0, b) adalah bx + ay = ab


Yuk, langsung saja kita latihan soalnya ya?

1. Perhatikan gambar berikut!








Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 2x + 3y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah….

a. 16

b. 22

c. 26

d. 28

e. 36

Jawab:

Perhatikan huruf A, B, C, dan D pada gambar berikut:








Kita tentukan batas-batas titik-titik A, B, C, dan D di atas:

Titik A (0, 0)

Titik B (8, 0)

Titik C adalah perpotongan garis I dan garis II: 

Garis I melalui titik (8, 0) dan (0, 12) --> a = 8 dan b = 12 maka menggunakan rumus bx + ay = ab

bx + ay = ab

12x + 8y = 12 (8)

12x + 8y = 96 (sederhanakan bagi 4)

3x + 2y = 24

Garis II melalui titik (-8, 0) dan (0, 4) -->  a = -8 dan b = 4 maka menggunakan rumus bx + ay = ab

bx + ay = ab

4x + (-8)y = 4 (-8)

4x – 8y = -32 (sederhanakan bagi 4)

x – 2y = -8

Selanjutnya kita cari berapa titik C dengan mencari titik potong garis 3x + 2y = 24 dan garis x – 2y = -8. Caranya dengan mengeliminasi kedua persamaannya.




x = 16 : 4

x = 4

Kita substitusikan x = 4 dalam persamaan x – 2y = -8 untuk menentukan nilai y.

x – 2y = -8

4 – 2y = -8

-2y = -8 – 4

-2y = -12

y = -12 : -2

y = 6

Maka, titik C adalah (4, 6)

Titik D (0, 4)

Nilai fungsi objektif f(x, y) = 2x + 3y pada titik A, B, C, dan D adalah:

Titik A (0, 0) --> f(0, 0) = 2 (0) + 3 (0) = 0

Titik B (8, 0) --> f(8, 0) = 2 (8) + 3 (0) = 16

Titik C (4, 6) --> f(4, 6) = 2 (4) + 3 (6) = 8 + 18 = 26

Titik D (0, 4) --> f(0, 4) = 2 (0) + 3 (4) = 0 + 12 = 12

Kita pilih nilai yang paling besar (maksimal).

Jadi, nilai maksimum fungsi objektif di atas adalah 26.

Jawaban yang tepat C.


2. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan!








Nilai maksimum bentuk objektif 3x + 4y adalah…

a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

e. 7

Jawab:

Perhatikan gambar batas-batas pojokan pada gambar di bawah ini:









Titik A (0, 0)

Titik B (1, 0)

Titik D (0, 1)

Titik C adalah perpotongan garis I dan II. 

Persamaan garis I melalui titik (1, 0) dan (0, 2)  a = 1 dan b = 2

bx + ay = ab

2x + y = (2) (1)

2x + y = 2 … persamaan 1

Persamaan garis II melalui titik (3, 0) dan (0, 1) --> a = 3 dan b = 1

bx + ay = ab

x + 3y = (3) (1)

x + 3y = 3 …. Persamaan 2



                                y = -4 : -5

        y = 4/5

Subtitusikan y = 4/5 dalam persamaan 2x + y = 1

2x + 4/5 = 2

2x = 2 – 4/5

2x = 6/5

x = 6/5 : 2

x = 6/5 x ½

x = 3/5

Titik C (3/5, 4/5)

Nilai fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y pada titik A, B, C, dan D adalah:

Titik A (0, 0) --> f(0, 0) = 3(0) + 4(0) = 0

Titik B (1, 0) --> f(1, 0) = 3(1) + 4(0) = 3

Titik C (3/5, 4/5) --> f(3/5, 4/5) = 3(3/5) + 4(4/5) = 9/5 + 16/5 = 25/5 = 5

Titik D (0, 1) --> f(0, 1) = 3(0) + 4 (1) = 4

Kita pilih nilai yang paling besar (maksimal).

Jadi, nilai maksimum untuk fungsi objektif tersebut adalah 5.

Jawaban yang tepat C.


3. Nilai maksimum dari fungsi objektif 2x + 3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 3x + 2y ≥ 12; x + y ≤ 5; x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…

a. 18

b. 15

c. 13

d. 12

e. 8

Jawab:

Pada soal, belum disertakan gambar himpunan penyelesaian, jadi kita harus menggambar sendiri dan menentukan pojok-pojok yang membatasi himpunan penyelesaian.

Persamaan 3x + 2y = 12



Persamaan x + y = 5



Titik-titik di atas kita gambarkan di diagram cartesius:

3x + 2y ≥ 12 x + y ≤ 5; x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah bagian yang diarsir.










Titik B (4, 0)

Titik C (5, 0)

Titik A adalah titik potong garis 3x + 2y = 12 dan x + y = 5




subtitusikan x = 2 pada persamaan x + y = 5

2 + y = 5

y = 5 – 2

y = 3

Jadi, titik A (2, 3)

Nilai objektif f(x, y) = 2x + 3y

Titik A (2, 3) --> f(2, 3) = 2(3) + 3(3) = 6 + 9 = 15

Titik B (4, 0) --> f(4, 0) = 2(4) + 3(0) = 8

Titik C (5, 0) --> f(5, 0) = 2(5) + 3(0) = 10

Pilih satu hasil yang paling besar. 

Jadi, nilai maksimum untuk fungsi objektif f(x, y) = 2x + 3y adalah 15.

Jawaban yang tepat B.


4. Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 orang. Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg. sedangkan pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak lebih dari 1.440 kg. Apabila harga tiket kelas utama Rp1.000.000,- dan untuk kelas ekonomi Rp500.000,- per orang, maka penjualan maksimum saat semua tempat duduk terisi penuh adalah…

A. Rp12.000.000,-

B. Rp24.000.000,-

C. Rp36.000.000,-

D. Rp48.000.000,-

Jawab:

Untuk bentuk soal cerita, kalian jangan lupa untuk mengikuti langkah-langkah ini ya:

a. Tentukan model matematika (fungsi kendala dan fungsi objektif)

b. Membuat gambar dari fungsi kendala (fungsi pembatas)

c. Menentukan nilai fungsi sasaran (objektif) di titik pojok daerah penyelesaian.

Jadi, langkah pertama kita harus menentukan model matematika dari soal di atas:

Misal:

x = kelas utama

y = kelas ekonomi

kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 orang = x + y ≤ 48

penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg. pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak lebih dari 1.440 kg  = 60x + 20y ≤ 1.440 kita sederhanakan menjadi 3x + y ≤ 72

harga tiket kelas utama Rp1.000.000,- dan untuk kelas ekonomi Rp500.000,- per orang ini akan menjadi fungsi objektif f(x, y) = 1.000.000x + 500.000y

Jadi, kita dapatkan fungsi sebagai berikut:

x + y ≤ 48

3x + y ≤ 72

f(x, y) = 1.000.000x + 500.000y 

Kita gambar persamaan tersebut dalam bidang cartesius:

Persamaan x + y = 48



Persamaan 3x + y = 72



Titik-titik di atas kita gambarkan di diagram cartesius:

Himpunan penyelesaian dari x + y ≤ 48; 3x + y ≤ 72 adalah bagian yang diarsir:










Titik A (0, 48)

Titik B (0, 0)

Titik C (24, 0)

Titik D adalah perpotongan antara garis I dan II, titik potongnya adalah:




x = -24 : -2

x = 12

Subtitusikan x = 12 dalam persamaan x + y = 48

12 + y = 48

y = 48 – 12

y = 36

Jadi, titik D (12, 36)

Nilai objektif f(x, y) = 1.000.000x + 500.000y

Titik A (0, 48) --> f(0, 48) = 1.000.000(0) + 500.000(48) = 24.000.000

Titik B (0, 0) --> f(0, 0) = 1.000.000(0) + 500.000(0) = 0

Titik C (24, 0) --> f(24, 0) = 1.000.000(24) + 500.000(0) = 24.000.000

Titik D (12, 36) --> f(12, 36) = 1.000.000(12) + 500.000(36) = 12.000.000 + 18.000.000 = 30.000.000

Pilih satu nilai yang paling besar.

Jadi, nilai maksimum objektif f(x, y) = 1.000.000x + 500.000y adalah Rp30.000.000,-.

Jawaban yang tepat C.


5. Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,- dan tipe B adalah Rp60.000.000,-. Supaya pendapatan dari hasil penjualan seluruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak…

a. 100 rumah tipe A saja

b. 125 rumah tipe A saja

c. 100 rumah tipe B saja

d. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B

e. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B

Jawab:

Sama seperti soal nomor 4, langkah-langkah yang harus kalian lakukan adalah:

a) Tentukan model matematika (fungsi kendala dan fungsi objektif)

b) Membuat gambar dari fungsi kendala (fungsi pembatas)

c) Menentukan nilai fungsi sasaran (objektif) di titik pojok daerah penyelesaian.

Yuk, kita kerjakan.

Misal:

Rumah tipe A = x

Rumah tipe B = y

1 hektar = 10.000 m2

Model matematika dari soal di atas adalah:

Tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75 m--> 100x + 75y ≤ 10.000 kita sederhanakan menjadi 

--> 4x + 3y ≤ 400

Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. -->  x + y ≤ 125

Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,- dan tipe B adalah Rp60.000.000,-.. ini menjadi fungsi objektif f(x, y) = 100.000.000x + 60.000.000y

Jadi, kita dapatkan fungsi sebagai berikut:

4x + 3y ≤ 400

x + y ≤ 125

f(x, y) = 100.000.000x + 60.000.000y

Kita gambar persamaan tersebut dalam bidang cartesius:

Persamaan 4x + 3y = 400



Persamaan x + y = 125



Titik-titik di atas kita gambarkan di diagram cartesius:

Himpunan penyelesaian dari x + y ≤ 48; 3x + y ≤ 72 adalah bagian yang diarsir:









Kita tentukan besar titik A, B, C, dan D pada pojok-pojok daerah yang diarsir:

Titik A (0, 0)

Titik B (100, 0)

Titik D (0, 125)

Titik C adalah perpotongan garis 4x + 3y = 400 dan x + y = 125. Mari kita cari titik X dan Y nya:





subtitusikan y = 100 dalam persamaan x + y = 125

x + 100 = 125

x = 125 – 100

x = 25

Jadi, titik C adalah (25, 100)

Nilai objektif f(x, y) = 100.000.000x + 60.000.000y

Titik A (0, 0) --> f(0, 0) = 100.000.000 (0) + 60.000.000 (0) = 0

Titik B (100, 0) --> f(100, 0) = 100.000.000 (100) + 60.000.000 (0) = 10.000.000.000

Titik C (25, 100) --> f(25, 100) = 100.000.000 (25) + 60.000.000 (100) = 2.500.000.000 + 6.000.000.000 = 8.500.000.000

Titik D (0, 125) --> f(0, 125) = 100.000.000 (0) + 60.000.000 (125) = 0 + 7.500.000.000 = 7.500.000.000

Nilai maksimum untuk fungsi objektif di atas adalah 10.000.000.000 dengan nilai x = 100 dan y = 0

Jadi, supaya pendapatan dari hasil penjualan seluruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak 100 rumah tipe A saja.

Jawaban yang tepat A.

Cukup sampai disini ya latihan kita hari ini, sampai bertemu di postingan berikutnya...


Tuesday, 16 August 2022

Konversi Satuan Menggunakan Desimal

Konversi Satuan Menggunakan Desimal

Hai adik-adik ajar hitung… di Kurikulum Merdeka, kita diajak untuk menerapkan perkalian dan pembagian bilangan 10, 100, 1/10 dan 1/100 untuk mengkonversi satuan.. Yuk, kita berlatih…


1. 8695 g = ...... kg

Jawab:




Jadi, 8695 g = 8,695 kg


2. 320 mℓ = ...... ℓ

Jawab:



Jadi, 320 mℓ = 0,32 ℓ


3. 3,67 km = ...... m

Jawab:



Jadi, 3,67 km = 3,67 m


4. 67,2 m = ...... cm

Jawab:



Jadi, 67,2 m = 6.720 cm


5. 2,36 kg = ….. g

Jawab:



Jadi, 2,36 kg = 2.360 g


6. 46,78 cm = ….. mm

Jawab:



Jadi, 46,78 cm = 467,8 mm


7. 15,32 ℓ = …… mℓ

Jawab:



Jadi, 15,32 ℓ = 15.320 mℓ


8. 890 cm = ….. dm

Jawab:



Jadi, 890 cm = 89 dm.


9. 4,78 g = …… mg

Jawab:



Jadi, 4,78 g = 4.780 mg


10. 91,7 kℓ = ….. daℓ

Jawab:



Jadi, 91,7 kℓ = 9.170 daℓ


Nah, kakak harap kalian sudah lebih memahami materi perkalian dan pembagian 10, 100, 1/10, dan 1/100 ya…

Monday, 15 August 2022

no image

Bilangan Desimal dan Bilangan Bulat Kelas 5 dalam Kurikulum Merdeka: Menentukan angka 10 kali, 100 kali, 1/10 kali dan 1/100 kali

Hai, adik-adik ajar hitung… hari ini kakak akan mengajak kalian latihan soal Bagaimana menemukan angka 10 kali, 100 kali, 1/10 kali dan 1/100 kali.  Yuk, siapkan alat tulis kalian…

1. 538 adalah …… kali dari 5,38

Jawab:

538 : 5,38 = 538 : 538/100

        = 538 x 100/538

        = 100

Jadi, 538 adalah 100 kali dari 5,38


2. 3,27 adalah bilangan …… dari 32,7

Jawab:

3,27 : 32,7 = 327/100 : 327/10 

         = 327/100 x 10/327

         = 10/100

         = 1/10

Jadi, 3,27 adalah bilangan 1/10 dari 32,7


3. Bilangan 10 kali dari 0,075 adalah …..

Jawab:

10 x 0,075 = 10 x 75/1000

         = 75/100

         = 0,75

Jadi, Bilangan 10 kali dari 0,075 adalah 0,75


4. Bilangan 1/10 dari 9,36 adalah ….

Jawab:

1/10 x 9,36 = 1/10 x 936/100

           = 936/1000

          = 0,936

Jadi, bilangan 1/10 dari 9,36 adalah 0,936


5. 478 adalah …. Kali dari 47,8

Jawab:

478 : 47,8 = 478 : 478/10

         = 478 x 10/478

         = 10

Jadi, 478 adalah 10 kali dari 47,8


6. 29,5 adalah …. kali dari 0,295

Jawab:

29,5 : 0,295 = 295/10 : 295/1000

            = 295/10 x 1000/295

            = 1000/10

            = 100

Jadi, 29,5 adalah 100 kali dari 0,295


7. Bilangan 1/100 dari 643 adalah ….

Jawab:

1/100 x 643 = 643/100

           = 6,43

Jadi, Bilangan 1/100 dari 643 adalah 6,43


8. Bilangan 100 kali dari 0,0813 adalah ….

Jawab:

100 x 0,0813 = 100 x 813/10.000

             = 813/100

             = 8,13

Jadi, bilangan 100 kali dari 0,0813 adalah 8,13


9. 0,326 adalah bilangan ….. dari 3,26

Jawab:

0,326 : 3,26 = 326/1000 : 326/100

            = 326/1000 x 100/326

            = 10

Jadi, 0,326 adalah bilangan 10 dari 3,26 


10. Bilangan 10 kali dari 64,89 adalah….

Jawab:

10 x 64,89 = 10 x 6489/100

         = 6489/10

         = 648,9

Jadi, Bilangan 10 kali dari 64,89 adalah 648,9


Nah, sampai disini dulu ya Latihan kita hari ini… selamat (merdeka) belajar adik-adik….