CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG TURUNAN (DIFFERENSIAL )

Adik-adik, hari ini kita akan belajar tentang differensial atau sering kita kenal dengan istilah turunan... Mari kita mulai...

Kalian bisa pelajari materi ini melalui chanel youtube ajar hitung lho.. bisa kalian klik di link berikut:

1.    Diketahui , nilai dari f’(5) adalah ...
a.    6
b.    10
c.    14
d.    17
e.    20
PEMBAHASAN:

    f’(x) = 2x + 4
    f’(5) = 2(5) + 4
            = 14
JAWABAN: C

2.    Turunan pertama dari   adalah ...

PEMBAHASAN:


JAWABAN: D

3.    Diketahui dan f’ adalah turunan pertama dari f. Nilai dari f’(1) = ...
a.    20
b.    21
c.    23
d.    23
e.    26
PEMBAHASAN:


               = 24 – 6 + 6 – 1
               = 23
JAWABAN: C

4.    Diketahui dan f’ adalah turunan pertama f. Nilai f’(1) adalah ...
a.    3
b.    8
c.    13
d.    16
e.    21
PEMBAHASAN:


              = 3 – 20 + 25
              = 8
JAWABAN: B

5.    Diketahui . Jika f’ adalah turunan pertama dari f, maka nilai f’(x) = ...

PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus ini ya:


JAWABAN: D

6.    Jika dengan f’ adalah turunan pertama f, maka nilai f’(2) adalah ...
a.    5
b.    20
c.    30
d.    40
e.    50
PEMBAHASAN:
Kita gunakan rumus ini ya:


               = 20.1
               = 20
JAWABAN: B

7.    Jika f(x) = sin x cos 3x maka f’(π/6) = ...
  
PEMBAHASAN:

Kalian ingat dengan identitas trigonometri ini: 2sin α.cos β = sin (α + β) + sin (α - β)

Jadi, jika ada bentuk sin x cos 3x akan menjadi:

f(x) = sin x cos 3x

       = ½ (sin (x + 3x) + sin (x - 3x))
       = ½ (sin 4x + sin (-2x))
       = ½ sin 4x – ½ sin 2x
f’(x) = ½ . 4 cos 4x – ½ . 2 cos 2x
         = 2cos 4x – cos 2x
Maka:
f’(π/6) = 2cos 4(π/6) – cos 2(π/6)
           = 2.(- ½ ) – ½
           = -1 – ½
           = -1 1/2
JAWABAN: C

8.    Jika , sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, maka f’(π/2) = ...
a.    -2
b.    -1
c.    0
d.    1
e.    2
PEMBAHASAN:

Misalkan: u = sin x + cos x --> u’ = cos x – sin x
    v = sin x --> v’ = cos x
Ingat rumus ini ya:
Sehingga:


JAWABAN: B

9.    Nilai maksimum dari fungsi adalah ...
a.    8
b.    12
c.    16
d.    24
e.    32
PEMBAHASAN:
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi diperoleh jika f’(x) = 0
Maka:


Jadi, nilai maksimumnya adalah 12
JAWABAN: B

10.    Turunan pertama dari fungsi   adalah f’(x) = ...

PEMBAHASAN:

Misal: u = 1 + cos x --> u’ = – sin x
    v = sin x --> v’ = cos x
Ingat rumus ini ya:
Sehingga:


JAWABAN: E

11.    Turunan fungsi adalah ...

PEMBAHASAN:
atau
Maka:

JAWABAN: B

12.    Diketahui fungsi dan turunan pertama dari f adalah f’. Maka f’(x) = ...
a.    4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
b.    -2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
c.    2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
d.    -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
e.    sin (2x + 3) cos (2x + 3)
PEMBAHASAN:

    f’(x) = 2 sin (2x + 3) . 2. cos (2x + 3)
           = 4sin(2x + 3)cos(2x + 3)
JAWABAN: A

13.    Grafik fungsi turun dalam interval ...
a.    x < -3 atau x > 1
b.    x < -1 atau x > 3
c.    x < -3 atau x > -1
d.    -1 < x < 3
e.    1 < x < 3
PEMBAHASAN:
Syarat grafik f(x) turun adalah jika nilai f’(x) < 0, maka:


    HP = -1 < x < 3
JAWABAN: D

14.    Turunan pertama fungsi adalah f’(x). Nilai f’(1) = ...
a.    18
b.    24
c.    54
d.    162
e.    216
PEMBAHASAN:

Misalkan:
               v = 2x – 1 -->  v’ = 2
Kita pakai rumus yang ini: f(x) = u.v --> f’(x) = u’.v + u.v’
Sehingga:

             = 18 . 9 . 1 + 27 . 2
             = 162 + 54
             = 216
JAWABAN: E

15.    Turunan pertama dari y = sin 1/x adalah ...
     a.    cos x
     b.    sin 1/x
     c.    cos 1/x

PEMBAHASAN:

JAWABAN: E

16.    Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak ...
a.    30
b.    45
c.    60
d.    90
e.    135
PEMBAHASAN:

Agar biaya minimum maka B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 180
B’(x) = 0
4x – 180 = 0
4x = 180
x = 45
Jadi, agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak 45
JAWABAN: B

17.    Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek per hari adalah dalam ribuan rupiah maka biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan ...
a.    Rp550.000,00
b.    Rp800.000,00
c.    Rp880.000,00
d.    Rp900.000,00
e.    Rp950.000,00
PEMBAHASAN:
atau
Biaya minimum diperoleh ketika B’(x) = 0
B’(x) = 4x – 40
B’(x) = 0
4x – 40 = 0
4x = 40
x = 10
Subtitusikan x = 10 dalam persamaan
Jadi, biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan Rp800.000,00
JAWABAN: B

18.    Biaya produksi kain batik sepanjang x meter dinyatakan dengan fungsi ribu rupiah. Jika semua kain batik tersebut dijual dengan harga ribu rupiah maka panjang kain batik yang diproduksi agar diperoleh laba maksimum adalah ...
a.    15 m
b.    25 m
c.    30 m
d.    50 m
e.    60 m
PEMBAHASAN:
Laba = harga jual – harga produksi

Laba maksimum diperoleh ketika L’ = 0, maka:
L’ = 60 – 2x
L’ = 0
60 – 2x = 0
          x = 30
Jadi, panjang kain batik yang diproduksi agar diperoleh laba maksimum adalah 30 m
JAWABAN: C

19.    Sebuah roda setelah t detik berputar sebesar ѳ radian sehingga maka kecepatan sudut pada detik ke-3 adalah ...
a.    12 rad/ detik
b.    24 rad/ detik
c.    28 rad/ detik
d.    56 rad/ detik
e.    88 rad/ detik
PEMBAHASAN:

Kecepatan sudut = dѳ/dt = 128 – 24t
Kecepatan sudut pada detik ke-3 atau t = 3
128 – 24(3) = 128 – 72 = 56 rad/detik
JAWABAN: D

20.    Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm per detik. Laju bertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya 15 cm adalah ...
a.    675 cm2/ detik
b.    1.575 cm2/ detik
c.    3.375 cm2/ detik
d.    4.725 cm2/ detik
e.    23.625 cm2/ detik
PEMBAHASAN:
r = panjang rusuk kubus
V = volume kubus
Laju pertambahan panjang rusuk kubus =
Laju pertambahan volume kubus adalah dV/dt
dV/dt = dV/ds x ds/dt 
          = 3r2 x 7
          = 3. 152.7
          = 4.725 cm2/ detik
JAWABAN: D

21.    Grafik fungsi kuadrat menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah ...
a.    -4
b.    -3
c.    0
d.    3
e.    4
PEMBAHASAN:
Gradien garis singgung grafik adalah f’(x) = 2x + b
Garis singgungnya y = 3x + 4 memiliki gradien m = 3, maka:
2x + b = 3 ... (i)
Titik singgungnya adalah:
= 3x + 4
x2 + (b - 3)x = 0
x(x + (b – 3)) = 0
x = 0 atau x = b – 3 ... (ii)
Subtitusikan (ii) ke (i):
2(b – 3) + b = 3
2b – 6 + b = 3
3b = 9
b = 3
JAWABAN: D

22.    Jumlah dua bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum x.y adalah ...
a.    100
b.    81
c.    80
d.    77
e.    72
PEMBAHASAN:
x + y =18 --> x = 18 – y
x.y = (18 – y)y
     = 18y – y2
x.y mencapai nilai maksimum jika(x.y)’ = 0
(x.y)’ = 18 – 2y
(x.y)’ = 0
18 – 2y = 0
2y = 18
y = 9
x = 18 – y --> 18 – 9 = 9
Nilai maksimum x.y adalah 9 . 9 = 81
JAWABAN: B

23.    Persamaan garis singgung yang menyinggung kurva di titik (-1, 0) adalah ...
a.    y = -x + 1
b.    y = x + 1
c.    y = x – 1
d.    y = 6x + 6
e.    y = 6x – 6
PEMBAHASAN:
Gradien kurva adalah
Menyinggung suatu garis di titik (-1, 0) maka:


     y’ = 1 atau m = 1
Maka persamaan garisnya:
y – y1 = m (x – x1)
y - 0 = 1 (x + 1)
y = x + 1
JAWABAN: B

24.    Jika garis singgung pada kurva di titik yang berabsis 1 adalah y = 10x + 8 maka a = ...
a.    6
b.    7
c.    8
d.    9
e.    10
PEMBAHASAN:
memiliki gradien (m): y’ = 2x + a
Garis singgungnya memiliki absis 1, maka:
y’ = 2.1 + a
y’ = 2 + a
Persamaan garis singgungnya adalah y = 10x + 8, memiliki gradien (m) = 10
2 + a = 10
a = 8
JAWABAN: C

25.    Keliling persegi panjang (2x + 20) dan lebar (8 – x). Agar luas persegi panjang maksimum maka panjangnya ...
a.    10
b.    9
c.    4,5
d.    3,5
e.    3
PEMBAHASAN:
Misalkan panjang persegi panjang = p
Keliling = 2 (p + l)
(2x + 20) = 2(p + (8 – x))
x + 10 = p + (8 – x)
2x + 2 = p
Luas persegi panjang:
L(x) = p.l
    = (2x + 2) (8 – x)
  
Luas akan maksimum ketika L’(x) = 0, maka:
L’(x) = -4x + 14
L’(x) = 0
-4x + 14 = 0
4x = 14
x = 3,5
Maka panjangnya: 2x + 2 = 2(3,2) + 2 = 9
JAWABAN: B