CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG PERSAMAAN KUADRAT SMA

1. Akar-akar dari

adalah x1 dan x2. Jika x1 – x2 = 5, maka p adalah ...
a.    -8
b.    -6
c.    4
d.    6
e.    8
Pembahasan:

Pada soal diketahui PK:

dengan a = 2, b = -6, dan c = -p
x1 – x2 = 5, maka:

100=36+8p
100 – 36 = 8p
8p = 64
P = 64 : 8
P = 8
Jawaban: E

2. Akar-akar persamaan kuadrat

adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α – 2) dan (β – 2) adalah ...

Pembahasan:

berarti a = 1, b = 2, dan c = 3
Akar-akar PK di atas adalah α dan β, maka:
α + β = -b/a = -2/1 = -2
α . β = c/a = 3/1 = 3
persamaan kuadrat baru dengan akar (α – 2) dan (β – 2) adalah:

Jawaban: C

3. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan

maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1/a dan -1/b adalah...

Pembahasan:

berarti a = 2, b = -3, dan c = -5
Akar-akar persamaan PK di atas adalah a dan b, maka:
a + b = -b/a = -(-3)/2 = 3/2
a . b = c/a = -5/2
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya -1/a dan -1/b adalah:

Jawaban: D

4. Persamaan

mempunyai akar real sama, maka nilai p sama dengan ...
a.    -3 atau 1
b.    -1 atau 3
c.    1 atau 3
d.    1 atau -2
e.    -2 atau 3
Pembahasan:

kalikan silang

, jadi a = 1, b = (-3 - p), dan c = 3 + 2p
Syarat sebuah persamaan memiliki akar real sama adalah D = 0

(p-3)(p+1)=0
p = 3 atau p = -1
Jawaban: B

5. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat

maka persamaan yang akar-akarnya

adalah...

Pembahasan:

, berarti a = 2, b = 1, dan c = -2
PK di atas memiliki akar-akar x1 dan x2, maka:
x1 + x2 = -b/a = -1/2
x1. x2 = c/a = -2/2 = -1
PK baru dengan akar

adalah:

Maka, PK yang baru:

Jawaban: B

6. Akar-akar persamaan kuadrat

, p > 0 adalah

. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

adalah ...

Pembahasan:

, a = 1, b = -p, dan c = 4
PK di atas memiliki akar

, maka:

PK baru dengan akar

adalah...

PK yang baru adalah:

Jawaban: E

7. Jika jumlah kedua akar persamaan kuadrat

sama dengan nol, maka akar-akar itu adalah...
a.    3/2 dan -3/2
b.    4 dan -4
c.    5/2 dan -5/2
d.    5 dan -5
e.    3 dan -3
Pembahasan:

, a = 1, b = 2p – 3, dan c =

x1 + x2 = 0
-b/a = 0
-(2p – 3)/1 =0
-2p + 3 = 0
2p = 3
p = 3/2
Maka PK di atas menjadi:

(x-4)(x+4)=0
x = 4 dan x = -4
Jawaban: B

8. Persamaan kuadrat

mempunyai akar-akar x1 dan x2 dengan x1 ≠ 0 dan x2 ≠ 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/x1 dan 1/x2 adalah ...

Pembahasan:

, a = 3, b = -a, dan c = b
x1+x2=-b/a=-(-a)/3=a/3
x1.x2=c/a=b/3
PK dengan akar 1/x1 dan 1/x2 adalah:

PK yang baru adalah:

Jawaban: A

9.    Jika selisih dua bilangan bulat positif adalah 1 dan jumlah kuadratnya adalah 4, maka jumlah dua bilangan itu sama dengan...
a.    √2
b.    √7
c.    3
d.    √11
e.    √12
Pembahasan:
Misalkan bilangan tersebut A dan B, maka:
A – B = 1

4 - 2AB=1
2AB=4-1
2AB=3
Maka:

    = 4 + 3
        = 7
(A + B ) = √7
Jawaban: B

10.    Akar-akar persamaan

adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1 maka nilai 2x1 + 3x2 = ...
a.    -12,5
b.    -7,5
c.    12,5
d.    20
e.    22
Pembahasan:

(2x+1)(x-7)=0
x1=-1/2, x2=7
Maka:
2x1 + 3x2 = 2 . (-1/2) + 3 . 7
        = -1 + 21
        = 20
Jawaban: D

11.    Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat

, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 + x2 dan x1.x2 adalah ...

Pembahasan:

x1 + x2 = -b/a
x1 . x2 = c/a
PK dengan akar yang baru x1 + x2 dan x1.x2 adalah:

PK yang baru adalah:

Jawaban: B

12. Jika akar-akar persamaan kuadrat

adalah α dan β maka nilai dari

sama dengan ...
a.    19
b.    21
c.    23
d.    24
e.    25
Pembahasan:

, a = 3, b = 5, dan c = 1
α + β = -b/a = -5/3
α . β = c/a = 1/3
maka:

Jawaban: A

13. Ditentukan persamaan

dengan x ∊ R. Jumlah kuadrat akar-akarnya akan mencapai nilai minimum untuk p = ...
a.    -6
b.    -4
c.    4
d.    6
e.    8
Pembahasan:

, a = 1, b = p – 1, dan c = -(4 – 5p)

Jumlah kuadrat akar-akarnya adalah:

Persamaan kuadrat akan mencapai nilai minimum ketika x = -b/2a
x = (-(-12))/2.1 = 6
Jawaban: D

14. Jika

maka 3/x adalah ...
a.    -1
b.    1
c.    2
d.    -1 atau 2
e.    -1 atau -2
Pembahasan:

Maka:
3/x=3/3=1
Jawaban: B

15. Akar-akar persamaan kuadrat

adalah x1 dan x2. Nilai dari

=⋯
a.    -5
b.    -4
c.    -1
d.    4
e.    5
Pembahasan:

, a = 3, b = 1, dan c = -2
x1+x2=-b/a=-1/3
x1.x2=c/a=-2/3

      = 1 + 4
      = 5
Jawaban: E

16.    Akar-akar persamaan kuadrat

mempunyai beda 10. Pernyataan yang benar berikut ini adalah ...
a.    Jumlah kedua akarnya 6
b.    Hasil kali kedua akarnya -16
c.    Jumlah kuadrat akar-akarnya 20
d.    Hasil kali kebalikan akar-akarnya -1/16
Pembahasan:

x1- x2 = 10,maka x1=10 + x2
Pada persamaan kuadrat di atas, diketahui:
x1+x2=-b/a=-((-6))/1=6
x1 + x2 = 6, ganti x1 dengan 10 + x2
10 + x2 + x2 = 6
10 + 2x2 = 6
2x2 = 6 – 10
2x2 = -4
x2 = -4 : 2
x2 = -2
Jadi, x1 = 10 + x2 = 10 + (-2) = 8
Mari kita bahas satu persatu opsi di atas:
a.    Opsi A benar, karena x1 + x2 = 8 + (-2) = 6
b.    Opsi B benar, karena x1 . x2 = 8 . (-2) = -16
c.    Opsi C salah, karena

d. Opsi D benar, karena 1/x1 .1/x2=1/8 .1/(-2)=1/(-16)
Jawaban: -

17. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan

maka persamaan kuadrat yang baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah ...

Pembahasan:

, a = 1, b = -5, dan c = -1
p+q = -b/a = -(-5)/1 = 5
p.q = c/a = -1/1 = -1
PK dengan akar-akar 2p + 1 dan 2q + 1 adalah:
(2p + 1) + (2q + 1) = 2p + 2q + 2
    = 2 (p + q) + 2
    = 2 . 5 + 2
    = 12
(2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1
    = 4pq + 2 (p + q) + 1
    = 4.(-1) + 2 (5) + 1
    = -4 + 10 + 1
    = 7
Jadi, PK yang baru adalah:

Jawaban: D

18. Akar-akar persamaan

adalah p dan q, p + 2q = 6 dan p ≠ 0. Nilai dari p – q = ...
a.    4
b.    2
c.    -2
d.    -6
e.    -8
Pembahasan:

, a = 1, b = p, dan

p + q = -b/a = -p/1 = -p
p + 2q = 6
p + q + q = 6
(p + q) + q = 6
-p + q = 6
-(p – q) = 6
p – q = -6
Jawaban: D

19. Akar-akar persamaan kuadrat

adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah ...

Pembahasan:

, a = 3, b = -12, dan c = 2
Persamaan kuadrat di atas memiliki akar α dan β, maka:
α + β = -b/a = -(-12)/3 = 4
α . β = c/a = 2/3
akar-akar baru adalah (α + 2) dan (β + 2), maka:
(α + 2) + (β + 2) = α + β + 4
    = 4 + 4
    = 8
(α + 2) . (β + 2) = α . β + 2α + 2β + 4
    = α . β + 2(α + β) + 4
    = 2/3 + 2.4 + 4
    = 2/3 + 8 + 4
    = 2/3 + 12
    = 2/3 + 36/3
    = 38/3
Maka, persamaan kuadrat yang baru adalah:

Jawaban: A

20. Akar-akar persamaan

adalah p dan q. Jika p = 2q, untuk p > 0 dan q < 0. Nilai a – 1 = ...
a.    -5
b.    -4
c.    2
d.    3
e.    4
Pembahasan:

, a = 1,b = 2a - 3 , dan c = 18
Persamaan kuadrat tersebut memiliki akar p dan q, dimana p > 0 dan q < 0, maka:
p + q = -b/a = -(2a - 3)/1 = -2a + 3
p . q = c/a = 18/1 = 18
karena p =2q maka:
p . q = 18
2q . q = 18

q = √9
q = 3
Karena p = 2q, maka p = 2 . 3 = 6
Nilai a adalah:
p + q = -2a + 3
6 + 3 = -2a + 3
9 = -2a + 3
2a = 3 – 9
2a = -6
a = -6/2
a = -3
nilai dari a – 1 = -3 – 1 = -4
jawaban: B

21. Akar-akar persamaan

adalah α dan β. Nilai minimum dari

dicapai untuk a = ...
a.    -7
b.    -2
c.    2
d.    3
e.    7
Pembahasan:

, a = 1, b = -a – 3 , dan c = 4a
Persamaan kuadrat di atas memiliki faktor α dan β, maka:
α + β = -b/a = -(-a – 3)/1 = a + 3
α . β = c/a = 4a/1 = 4a

Mencapai nilai minimum ketika a = -b/2a = -14/2.1 = -7
Jawaban: A

22. Garis y = 2x + k memotong parabola

dititik (x1,y1) dan (x2,y2). Jika

maka nilai k = ...
a.    -1
b.    0
c.    1
d.    2
e.    3
Pembahasan:
Karena Garis y = 2x + k memotong parabola

maka:

Karena berpotongan di (x1,y1) dan (x2,y2), maka akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah x1 dan x2, maka:
x1 + x2 = -b/a = -(-3)/1 = 3
x1 . x2 = c/a = 3 - k/1 = 3 – k

      = 9 – 6 + 2k = 7
      = 3 + 2k = 7
      = 2k = 7 – 3
= 2k = 4
      = k = 4/2
      = k = 2
Jawaban: D

23.    Kedua persamaan

dan

mempunyai akar-akar real untuk ...
a.    -1/2 ≤ k ≤ 2
b.    -1/4 ≤ k ≤ 1
c.    -1/8 ≤ k ≤ 1
d.    -1/8 ≤ k ≤ 2
e.    -1/8 ≤ k ≤ 1
Pembahasan:
Persamaan kuadrat memiliki akar-akar real jika memenuhi D ≥ 0, maka:
Untuk persamaan