--> CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG PERSAMAAN LINGKARAN SMA | AJAR HITUNG

Soal & pembahasan Matematika SD, SMP & SMA

Monday, 23 January 2017

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG PERSAMAAN LINGKARAN SMA

| Monday, 23 January 2017
 Jika saat SD dan SMP kalian sudah dikenalkan dengan lingkaran, maka di SMA kalian akan mempelajari lingkaran lagi. Tapi, di SMA materinya persamaan lingkaran, yuk cek contoh soal dan pembahasannya:

1.    Persamaan lingkaran berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, -1) adalah...
Pembahasan:
Persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 3) dan melalui titik (5, -1)adalah:

      r = √25
      r = 5
sehingga persamaan lingkarannya:

jawaban: A

2.    Persamaan garis singgung lingkaran di titik (7, 1) adalah...
a.    3x – 4y – 41 = 0
b.    4x + 3y – 55 = 0
c.    4x – 5y – 53 = 0
d.    4x + 3y – 31 = 0
e.    4x – 3y – 40 = 0
Pembahasan:
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (x1, y1) dicari dengan rumus:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) + ½ . 4 (y1 + y) - 12 = 0
7.x + 1.y – 3 (7 + x) + 2 (1 + y) - 12 = 0
7x + y – 21 – 3x + 2 + 2y – 12 = 0
4x + 3y – 31 = 0
Jawaban: D

3.    Lingkaran memotong garis y = 1. Persamaan garis singgung di titik potong lingkaran dan garis y = 1 adalah ...
a.    x = 2 dan x = 4
b.    x = 3 dan x = 1
c.    x = 1 dan x = 5
d.    x = 2 dan x = 3
e.    x = 3 dan x = 4
pembahasan:
Lingkaran memotong garis y = 1 di titik:

     x = 2 dan x = 4
jadi, titik potongnya (2, 1) dan (4, 1)
persamaan lingkarannya menjadi:

persamaan garis singgung terhadap lingkaran L melalui titik (2, 1) adalah:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) - ½ . 2 (y1 + y) + 9 = 0
2.x + 1.y – 3 (2 + x) - 1 (1 + y) + 9 = 0
2x + y – 6 – 3x – 1 – y + 9 = 0
-x + 2 = 0
x = 2
persamaan garis singgung terhadap lingkaran L melalui titik (4, 1) adalah:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) - ½ . 2 (y1 + y) + 9 = 0
4.x + 1.y – 3 (4 + x) - 1 (1 + y) + 9 = 0
4x + y – 12 – 3x – 1 – y + 9 = 0
x - 4 = 0
x = 4
jawaban: A

4.    persamaan lingkaran dengan pusat (3 , -2) dan menyinggung sumbu Y adalah ...

Pembahasan:
Rumus persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) adalah:
Karena, garis menyinggung sumbu y, maka jari-jari = x = 3 (karena pusatnya (3, -2), sehingga:

jawaban: D

5.    Jarak antara titik pusat lingkaran dari sumbu y adalah ...
a.    3
b.    2,5
c.    2
d.    1,5
e.    1
Pembahasan:
Lingkaran dengan persamaan  memiliki titik pusat ( -a, -b), maka:
( - ½ .(-4) , - ½ . (0)) = (2, 0)
Karena, titik pusatnya (2, 0) maka jarak lingkaran ke sumbu y = x = 2
Jawaban: C

6.    Lingkaran menyinggung garis x = 4 di titik ...
a.    (4, 6)
b.    (4, -6)
c.    (4, 4)
d.    (4, 1)
e.    (4, -1)
Pembahasan:
Lingkaran menyinggung garis x = 4 maka:

    (y + 1) (y + 1) = 0
    y = -1
jadi, lingkaran menyinggung di titik ( 4, -1)
jawaban: E

7.    Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan ...
 
Pembahasan:
Lingkaran dengan persamaan  memiliki titik pusat ( -a, -b), maka:
( - ½ . (-4), - ½ . 6) = ( 2, -3)
Sehingga persamaan garis yang berpusat di (2, -3) adalah:

Panjang jari-jari (r) lingkaran adalah jarak titik pusat (2, -3) ke garis  3x – 4y + 7 = 0, maka:

jadi, persamaan lingkarannya menjadi:

Jawaban: A

8.    Diketahui lingkaran mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu x. Pusat lingkaran tersebut adalah ...
a.    (-5, -3)
b.    (-5, 3)
c.    (6, -5)
d.    (-6, -5)
e.    (3, -5)
Pembahasan:
Rumus jari-jari adalah: maka:

     p = ± 3
sehingga persamaannya menjadi:
  
Titik pusatnya = (- ½ .6 , - ½ .10) = (-3, -5)

Titik pusatnya = (- ½ .(-6) , - ½ .10) = (3, -5)
Jawaban: E

9.    Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada lingkaran
 adalah ...
a.    3x + 4y – 19 = 0
b.    3x - 4y – 19 = 0
c.    4x - 3y + 19 = 0
d.    x + 7y – 26 = 0
e.    x - 7y – 26 = 0
pembahasan:
persamaan garis singgung terhadap lingkaran melalui titik (5, 1) adalah:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
5.x + 1.y + ½ .(-4) (5 + x) + ½ .6 (1 + y) - 12 = 0
5x + y + -2 (5 + x) + 3 (1 + y) - 12 = 0
5x + y – 10 – 2x + 3 + 3y – 12 = 0
3x + 4y - 19 = 0
Jawaban: A

10.    lingkaran dengan persamaan melalui titik (5, -1). Jari-jarinya adalah...
a.    √7
b.    3
c.    4
d.    2√6
e.    9
Pembahasan:
Lingkaran melalui (5, -1) maka:

     25 + 1 – 20 – 2 + c = 0
     4 + c = 0
     c = -4
sehingga jari-jari lingkarannya:

     r = 3
jawaban: B

11.    Lingkaran mempunyai jari-jari 3 dan menyinggung sumbu x. Pusat lingkaran tersebut sama dengan ...
a.    (-2, 3)
b.    (2, -3)
c.    (2, 3)
d.    (3, -2)
e.    (-3, 2)
Pembahasan:

      p = ± 2
sehingga persamaannya menjadi:
   
Pusatnya: (- ½ .4, - ½ .6) = (-2, -3)

Pusatnya: (- ½ . (-4), - ½ . 6) = ( 2, -3)
Jawaban: B

12.    Persamaan garis singgung pada lingkaran yang tegak lurus garis 5x – 12y + 15 = 0 adalah ...
a.    12x + 5y – 41 = 0 dan 12x + 5y + 37 = 0
b.    12x + 5y + 41 = 0 dan 12x + 5y + 37 = 0
c.    5x + 12y + 41 = 0 dan 5x + 12y + 37 = 0
d.    5x + 12y - 41 = 0 dan 5x + 12y - 37 = 0
e.    12x - 5y – 41 = 0 dan 12x - 5y - 37 = 0
Pembahasan:
Pusat lingkaran: ( - ½ .(-2), - ½ .4) = ( 1, -2)

     r = 3
garis 5x – 12y + 15 = 0 memiliki gradien m = -a/b = -5/-12 = 5/12 karena garis yang ditanyakan adalah garis yang tegak lurus, maka gradiennya menjadi: -12/5
persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b) ; berjari-jari r; dan bergradien m adalah:

Karena pusat lingkarannya (1, -2); r = 3, dan m = -12/5 , maka:

     (y + 2) = -12/5 (x – 1) ± 3 .13/5 (kalikan 5)
     5 (y + 2) = 5 .-12/5 (x – 1) ± 5.3 .13/5
     5y + 10 = -12 (x – 1) ± 15 . 13/5
     5y + 10 = -12x + 12 ± 39
    12x + 5y – 2 ± 39 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya:
12x + 5y – 2 + 39 = 0 ==> 12x + 5y + 37 = 0, dan
12x + 5y – 2 - 39 = 0 ==> 12x + 5y – 41 = 0
Jawaban: A

13.    Persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB dengan A (-2, 2) dan B (2, -2) adalah ...

Pembahasan:
Jari-jari = ½ diameter

      r = ½ √32
      r = ½.4 √2
      r = 2√2
pusat lingkaran:
persamaan lingkarannya:

jawaban: C

14.    Garis x + y = 2 menyinggung lingkaran untuk q = ...
a.    -8
b.    4
c.    6
d.    8
e.    16
Pembahasan:
Pusat lingkaran = (- ½ .(-6), - ½ (-2)) = (3, 1)

Jarak titik pusat (3,1) lingkaran dengan dengan garis x + y = 2 atau x + y – 2 = 0adalah r, maka:

     2 = 10 – q
     q = 8
jawaban: D

15.    Jika lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) menyinggung garis y = 1 – x maka nilai c sama dengan ...
a.    0
b.    4
c.    5
d.    9
e.    13
Pembahasan:
Garis garis y = 1 – x menyinggung lingkaran, maka:

Syarat menyinggung adalah D = 0, maka:
0 – 4. 2. (-5 + c) = 0
40 – 8c = 0
8c = 40
c = 5
Jawaban: C

16.    Persamaan garis singgung melalui titik (0, 5) pada lingkaran adalah ...
a.    2x + y = 10 dan -2x + y = 10
b.    x + 2y = 10 dan x - 2y = -10
c.    x + 2y = 10 dan x - 2y = 10
d.    x + y = -10 dan 2x - y = 10
e.    x + 2y = -10 dan x - 2y = -10
Pembahasan:
Kita subtitusikan titik (0, 5) dalam :
  karena nilainya lebih besar, maka titik (0, 5) berada di luar lingkaran.
Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) adalah:
y – y1 = m (x – x1)
y – 5 = m (x – 0)
y = mx + 5
kita subtitusikan y = mx + 5 pada persamaan :

Karena y = mx + 5 menyinggung lingkaran, maka D = 0

       m = ± ½
  •     jika m = ½ maka:
              y = mx + 5 = ½ x + 5
             2y = x + 10 atau x – 2y = 10
  •     jika m = -  ½ maka:
              y = mx + 5 = - ½ x + 5
             2y = -x + 10 atau x + 2y = 10
Jawaban: B

17.    Supaya garis y = x + a menyinggung lingkaran haruslah ...
a.    a = -6 atau a = 1
b.    a = -5 atau a = 2
c.    a = -1 atau a = 1
d.    a = -6 atau a = 2
e.    a = 6 atau a = -2
Pembahasan:
Garis y = x + a menyinggung lingkaran, maka:

Syarat menyinggung, D = 0

     (-a – 6) (a – 2) = 0
     a = -6 atau a = 2
jawaban: D

18.    Salah satu persamaan garis singgung yang ditarik dari titik A (0, 10) ke lingkaran yang persamaannya
adalah ...
a.    y = 10x + 3
b.    y = 10x - 3
c.    y = 3x - 10
d.    y = -3x - 10
e.    y = -3x +10
pembahasan:
memiliki titik pusat (0, 0) dan jari-jari √10
Persamaan garis singgung bergradien m adalah:

Garis singgungnya melalui titik (0, 10), maka:

      m = ± 3
Persamaan garis singgungnya menjadi:
  •     jika m = 3
              y – y1 = m (x – x1)
              y – 10 = 3 (x – 0)
              y = 3x + 10
  •     jika m = -3
             y – y1 = m (x – x1)
             y – 10 = -3 (x – 0)
             y = -3x + 10
Jawaban: E

19.    titik pusat lingkaran L yang berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis y = 2x. Jika L menyinggung sumbu y di titik (0, 6) maka persamaan L adalah ..

Pembahasan:
Ketika y = 6, maka y = 2x, maka x = 3
Sehingg pusat lingkarannya adalah (3, 6) dengan jari-jari = r = x = 3
Maka, persamaan lingkarannya menjadi:

Jawaban: E

20.    Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan ...

Pembahasan:
Pusat lingkaran = (- ½ .(-4), - ½ .6) = (2, -3)
Lingkaran menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 maka jari-jarinya adalah:

       r = 5
persamaan lingkarannya adalah:

Jawaban: A

21.    Jika A (1, 3), B (7, -5) maka persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB adalah ...

Pembahasan:
Titik pusat:
Panjang jari-jari sama dengan jarak A ke B atau B ke titik pusat:

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (4, -1) dan jari-jari 5 adalah:

Jawaban: A

22.    Diketahui suatu lingkaran dengan pusat berada pada kurva y = √x dan melalui titik asal O (0, 0). Jika absis titik pusat lingkaran terseut adalah a, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui O adalah ...
a.    y = -x
b.    y = -x√a
c.    y = -ax
d.    y = -2x√2
e.    y = -2ax
Pembahasan:
x = a, maka y = √x = √a sehingga titik pusatnya adalah (a, √a)
persamaan lingkarannya:

Lingkaran melalui titik O (0, 0), maka:

sehingga diperoleh
persamaan garis singgung lingkaran dan melalui O (0, 0) adalah:

Jawaban: B

23.    lingkaran yang pusatnya berimpitan dengan pusat dan berjari-jari 5, memotong sumbu x dan sumbu y positif di titik (a, 0) dan (0, b). Nilai ab = ...
a.    10√6 – 15
b.    10√5 - 15
c.    8√6 - 10
d.    8√5 - 10
e.    15/2 √6-10
Pembahasan:
Pusat lingkaran = (- ½ . (-2), - ½ . 6) = (1, -3)
Persamaan lingkaran dengan pusat (1, -3) dan jari-jari 5 adalah:

Lingkaran memotong sumbu x positif, maka y = 0

       x – 1 = √16
       x – 1 = 4
       x = 5
       a = 5
lingkaran memotong sumbu y positif, maka x = 0

     y + 3 = √24
     y = √24 – 3
     b = √24 – 3
jadi, nilai ab = 5 (√24 – 3) = 5 (√4.6 – 3) = 10√6 - 15
Jawaban: A

24.    Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah ...

a.    √3
b.    3
c.    √13
d.    3√3
e.    √37
Pembahasan:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
  •     Lingkaran melalui A (5, 0), maka:
     25 + 5A + C = 0 atau,
    5A + C = -25 ... (i)
  •     Lingkaran melalui B (0, 5), maka:

      25 + 5B + C = 0
      5B + C = -25 ... (ii)
  •     Lingkaran melalui C (-1, 0), maka:

        1 – A + C = 0
        -A + C = -1 ... (iii)
Eliminasi (i) dan (iii)

     A = -4
Subtitusikan A = -4, pada persamaan –A + C = -1
-(-4) + C = -1
C = -5
Subtitusikan C = -5 pada persamaan 5B + C = -25
5B + (-5) = -25
5B = -20
B = -4
Sehingga persamaan lingkarannya menjadi:

Jari-jarinya:

     r = √13
Jawaban: C

25.    Salah satu garis singgung yang bersudut 120 derajat terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter di titik (7, 6) dan (1, -2) adalah ...
a.    y = -x√3 + 4√3 + 12
b.    y = -x√3 - 4√3 + 8
c.    y = -x√3 + 4√3 + 8
d.    y = -x√3 - 4√3 - 8
e    y = -x√3 + 4√3 + 22
Pembahasan:
Jari-jari:
Titik pusat:
Persamaan lingkarannya:

Persamaan garis singgung lingkaran:
  ...(i)
Perhatikan gambar garis singgung yang dimaksud:

Berdasarkan gambar di atas, gradien garis yang dimaksud adalah y/x = - √3 /1 = - √3
Maka persamaan garis singgungnya (i) menjadi:

     y = - x√3 + 4 √3 ± 5√4 + 2
     y = - x√3 + 4 √3 ± 10 + 2
    y = - x√3 + 4 √3 ± 10 + 2
    y = - x√3 + 4 √3 + 10 + 2 = - x√3 + 4 √3 + 12
    y = - x√3 + 4 √3 - 10 + 2 = - x√3 + 4 √3 - 8
Jawaban: A




Gimana nih adik-adik? setelah belajar bersama kakak, makin paham atau makin bingung nih? hehehe... semoga bermanfaat ya, jangan putus-putus latihannya...


Related Posts

4 comments: