--> CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG PROGRAM LINEAR | AJAR HITUNG

Soal & pembahasan Matematika SD, SMP & SMA

Tuesday, 7 February 2017

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG PROGRAM LINEAR

| Tuesday, 7 February 2017
Halooo adik-adik, ketemu lagi dikesempatan kali ini... kita mau belajar tentang program linear... enjoy it..

1.    Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...
a.    24
b.    32
c.    36
d.    40
e.    60
PEMBAHASAN:
-    x + y ≤ 8
ketika x = 0, maka y = 8 .... (0, 8)
ketika y = 0, maka x = 8 .... (8, 0)
-    x + 2y ≤ 12
ketika x = 0, maka y = 6 .... (0, 6)
ketika y = 0, maka x = 12 .... (12, 0)
Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:

Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:

subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8
x + 4 = 8
x = 4 .... (4, 4)
Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah:
f(x, y) = 5x + 4y
-    titik A (0, 6)
      5x + 4y = 5.0 + 4.6 = 24
-    titik B (4, 4)
      5x + 4y = 5.4 + 4.4 = 20 + 16 = 36
-    titik C (8, 0)
      5x + 4y = 5.8 + 4.0 = 40
Jadi, nilai maksimumnya adalah 40.
JAWABAN: D

2.    Nilai minimum fungsi obyektif  f(x, y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah  ...

a.    4
b.    6
c.    7
d.    8
e.    9
PEMBAHASAN:
Perhatikan gambar berikut:

Ingat ya, rumus persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah: ax + by = a.b, maka:
-    Persamaan garis p = 4x + 2y = 4.2 = 4x + 2y = 8 = 2x + y = 4
-    Persamaan garis q = 3x + 3y = 3.3 = 3x + 3y = 9 = x + y = 3
Selanjutnya, kita cari titik potong garis p dan q, yaitu di titik B:

subtitusikan x = 1 dalam x + y =3
1 + y = 3
y = 2 .... B(1, 2)
kita cari nilai dari fungsi obyektif  f(x, y) = 3x + 2y:
-    Titik A (0, 4)
     3x + 2y = 3.0 + 2.4 = 8
-    Titik B (1, 2)
      3x + 2y = 3.1 + 2.2 = 7
-    Titik C (3, 0)
      3x + 2y = 3.3 + 2.0 = 9
Jadi, nilai minimumnya adalah 7
JAWABAN: C

3.    Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12, 4x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah ...

a.    I
b.    II
c.    III
d.    IV
e.    I dan III
PEMBAHASAN:
-    Daerah hasil 2x + 3y ≤ 12 adalah area II dan III
-    Daerah hasil  4x + y ≥ 10 adalah area III dan IV
Maka, yang mencakup keduanya adalah area nomor III
JAWABAN: C

4.    Seorang tukang jahit akan membuat pakaian model A dan model B. Model A memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model B memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m. Banyaknya total pakaian jadi akan maksimal jika banyaknya model A dan model B masing-masing...
a.    7 dan 8
b.    8 dan 6
c.    6 dan 4
d.    5 dan 9
e.    4 dan 8
PEMBAHASAN:
Dari soal dapat diresume dalam tabel berikut;

Model matematika yang dapat dibentuk:
x + 2y ≤ 20
1,5x + 0,5 y ≤ 10 atau 15x + 5y ≤ 100
Kita cari titik potong kedua garis tersebut:

subtitusikan x = 4 dalam persamaan x + 2y = 20
4 + 2y = 20
2y = 16
y = 8
maka, banyak model A = 4 dan model B = 8
JAWABAN: E

5.    Daerah mana yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut ...

a.    30
b.    26
c.    24
d.    21
e.    18
PEMBAHASAN:
Perhatikan gambar:

-    Persamaan garis p = 6x + 4y = 24 atau 3x + 2y = 12
-    Persamaan garis q = 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12
Titik potong garis p dan q adalah:

subtitusikan y = 12/5 dalam 2x + 3y = 12:
2x + 3.12/5 = 12
2x = 12 – 36/5
2x = 60/5 – 36/5
2x = 24/5
x = 24/10 = 12/5 .... titik B (12/5, 12/5)
Nilai dari fungsi obyektif  3x + 5y adalah:
-    Titik A (0, 6)
      3x + 5y = 3.0 + 5. 6 = 30
-    Titik B (12/5, 12/5)
      3x + 5y = 3.12/5 + 5.12/5 = 36/5 + 60/5 = 96/5 = 19,2
-    Titik C (6, 0)
      3x + 5y = 3.6 + 5.0 = 18
Jadi, nilai minimumnya adalah 30
JAWABAN: A

6.    Nilai maksimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0 adalah ...
a.    10
b.    14
c.    18
d.    20
e.    24
PEMBAHASAN:
-    3x + y ≤ 9
Jika x = 0, maka y = 9 .... (0, 9)
Jika y = 0, maka x = 3 .... (3, 0)
-    5x + 4y ≥ 20
Jika x = 0, maka y =5 ..... (0, 5)
Jika y = 0, maka x = 4 .... (4, 0)
Kita cari daerah hasilya dengan menggambarnya:

Kita cari dulu titik potong kedua garis di titik B:

subtitusikan x = 16/7 dalam 3x + y = 9
3.16/7 + y = 9
48/7 + y = 9
y = 9 – 48/7
y = 63/7 – 48/7
y = 15/7 ... titik B (16/7, 15/7)
Kita cari nilai dari fungsi obyektif  z = -3x + 2y:
-    Pada titik A (0, 9)
      -3x + 2y = -3.0 + 2.9 = 18
-    Pada titik B (16/7, 15/7)
     -3x + 2y = -3.16/7 + 2.15/7 = -48/7 + 30/7 = -18/7
-    Pada titik C (0, 5)
     -3x + 2y = -3.0 + 2.2 = 4
Jadi, nilai maksimumnya adalah 18.
JAWABAN: C

7.    Dalam sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x : y ≤ 2x; 2y + x ≤ 20; x + y ≥ 9. Nilai maksimum untuk 3y – x dicapai di titik ...

a.    P
b.    Q
c.    R
d.    S
e.    T
PEMBAHASAN:
Kita cari dulu titik potong-titik potong pada soal di atas:
-    Titik P
P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x, maka subtitusikan saja:
2y + y = 9
3y = 9
y = 3 maka x = 2y = 6 ... titik P (6, 3)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3
-    Titik Q
Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x, maka subtitusikan saja:
x + 2x = 9
3x = 9
x =3 dan y = 2x = 6 ... titik Q(3, 6)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15
-    Titik R
R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x, maka subtitusikan saja:
2.2x + x = 20
5x = 20
x = 4 dan y = 2x = 8 ... titik R (4, 8)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20
-    Titik S
S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x, maka subtitusikan saja:
x + x = 20
2x = 20
x = 10 dan 2y = x, maka y = 5 ... titik S (10, 5)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5
Maka, nilai maksimumnya adalah 20 di titik R
JAWABAN: C

8.    Nilai minimum dari -2x + 4y + 6 untuk x dan y yang memenuhi 2x + y – 20 ≤ 0, 2x – y + 10 ≥ 0, x + y – 5 ≤ 0, x – 2y – 5 ≤ 0, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah ...
a.    -14
b.    -11
c.    -9
d.    -6
e.    -4
PEMBAHASAN:
-    2x + y – 20 ≤ 0 atau 2x + y = 20
Untuk x = 0, maka y = 20 ... (0, 20)
Untuk y = 0, maka x = 10 .... (10, 0)
-    2x – y + 10 ≥ 0 atau 2x – y = -10
Untuk x = 0, maka y = 10 ... (0, 10)
Untuk y = 0, maka x = -5 .... (-5, 0)
-    x + y – 5 ≤ 0 atau x + y = 5
Untuk x = 0, maka y = 5 ... (0, 5)
Untuk y = 0, maka x = 5 .... (5, 0)
-    x – 2y – 5 ≤ 0 atau x – 2y = 5
Untuk x = 0, maka y = -2,5 ... (0, -2,5)
Untuk y = 0, maka x = 5 .... (5, 0)

Kita cari daerah hasilnya dengan menggambarnya:

-    titik A adalah titik potong antara 2x – y = -10 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya:

      2x + 15 = 20
      2x = 5
      x = 5/2 ... titik A (5/2, 15)
Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.5/2 + 4.15 + 6 = -5 + 60 + 6 = 61
-    titik B adalah titik potong antara x – 2y = 5 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya:

     2x + 2 = 20
     2x = 18
     x = 9 ... titik B (9, 2)
Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.9 + 4.2 + 6 = -18 + 8 + 6 = -4
-    titik C (5, 0)
Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.5 + 4.0 + 6 = -10 + 0 + 6 = -4
-    titik D (0, 5)
Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.0 + 4.5 + 6 = 0 + 20 + 6 = 2
-    titik E (0, 10)
Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.0 + 4.10 + 6 = 0 + 40 + 6 = 46
Sehingga, nilai minimalnya adalah -4
JAWABAN: E

9.    Nilai minimum f(x, y) = 3 + 4x – 5y untuk x dan y yang memenuhi –x + y ≤ 1, x + 2y ≥ 5 dan 2x + y ≤ 10 adalah ...
a.    -19
b.    -6
c.    -5
d.    -3
e.    23
PEMBAHASAN;
-    –x + y = 1
Jika x = 0, maka y = 1 ... (0, 1)
Jika y = 0, maka x = -1 ... (-1, 0)
-     x + 2y = 5
jika x = 0, maka y = 5/2 ... (0, 5/2)
jika y =0, maka x = 5 ... (5, 0)
-    2x + y = 10
Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10)
Jika y = 0, maka x = 5 ... (5, 0)
Mari kita gambar daerah hasilnya:

-    Titik A adalah titik potong antara –x + y = 1 dan 2x + y = 10, maka titik potongnya:

     2.3 + y = 10
     6 + y = 10
     y = 4 ... titik A (3,  4)
Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.3 – 5.4 = 3 + 12 – 20 = -5
-    Titik B adalah titik potong antara  –x + y = 1 dan x + 2y = 5, maka titik potongnya:

      x + 2.2 = 5
      x + 4 = 5
      x =1 ... titik B (1, 2)
Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.1 – 5.2 = 3 + 4 – 10 = -3
-    Titik C (5, 0)
Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.5 – 5.0 = 3 + 20 – 0 = 23
Jadi, nilai minimum fungsi adalah -5
JAWABAN: C

10.    Fungsi F = 10x + 15y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 800, y ≤ 600, dan x + y ≤ 1000 mempunyai nilai maksimum ...
a.    9.000
b.    11.000
c.    13.000
d.    15.000
e.    16.000
PEMBAHASAN:
-    x = 800
-    y = 600
-    x + y = 1000
     jika x = 0, maka y = 1000 ... (0, 1000)
     jika y = 0, maka x= 1000 ... (1000, 0)
Yuk, kita gambar daerah hasilnya:

-    titik A adalah titik potong antara y = 600 dan x + y = 1000, maka titik A adalah:
x + 600 = 1000
x = 400 ... titik A (400, 600)
Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.400 + 15.600 = 4000 + 9000 = 13.000
-    titik B (0, 600)
Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.0 + 15.600 = 0 + 9000 = 9.000
-    titik C adalah titi potong antara x = 800 dan x + y = 1000, maka titik C adalah:
800 + y = 1000
y = 200 .... titik C (800, 200)
Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.200 = 8000 + 3000 = 11.000
-    titik D (800, 0)
Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.0 = 8000 + 0 = 8.000
Sehingga nilai maksimumnya adalah 13.000
JAWABAN: C

11.    Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koi dan ikan koki. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi y, maka model matematikanya adalah ...
a.    x + y ≥ 20; 3x + 2y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
b.    x + y ≥ 20; 2x + 3y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
c.    x + y ≤ 20; 2x + 3y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
d.    x + y ≤ 20; 2x + 3y ≥ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
e.    x + y ≤ 20; 3x + 2y ≥ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
PEMBAHASAN:
Ikan koki = x
Ikan koi = y
-    20 kolam untuk memelihara ikan koi dan ikan koki = x + y ≤ 20
-    Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor = 24x + 36y ≤ 600 atau 2x + 3y ≤ 50
-    x ≥ 0
-    y ≥ 0
JAWABAN: C

12.    Sebuah angkutan umum paling banyak dapat memuat 50 penumpang. Tarif untuk seorang pelajar dan mahasiswa berturut-turut adalah Rp1.500,- dan Rp2.500,-. Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari Rp75.000,-. Misal banyak penumpang pelajar dan mahasiswa masing-masing x dan y. Model matematika yang sesuai untuk permasalahan tersebut adalah ...
a.    x + y ≤ 50; 3x + 5y ≥ 150; x ≥ 0; y ≥ 0
b.    x + y ≤ 50; 3x + 5y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0
c.    x + y ≤ 50; 5x + 3y ≥ 150; x ≥ 0; y ≥ 0
d.    x + y ≥ 50; 5x + 3y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0
e.    x + y ≥ 50; 3x + 5y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0
PEMBAHASAN:
Pelajar = x
Mahasiswa = y
-    Sebuah angkutan umum paling banyak dapat memuat 50 penumpang = x + y ≤ 50
-    Tarif untuk seorang pelajar dan mahasiswa berturut-turut adalah Rp1.500,- dan Rp2.500,-. Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari Rp75.000,- = 1500x + 2500y ≥ 75000 atau 3x + 5y ≥ 150
-    x ≥ 0
-    x ≥ 0
JAWABAN: A

13.    Seorang ibu mempunyai 4 kg tepung terigu dan 2,4 kg mentega, ingin membuat donat dan roti untuk dijual. Satu donat membutuhkan 80gr terigu dan 40gr mentega, dan satu roti membutuhkan 50gr terigu dan 60 gr mentega. Jika ia harus membuat paling sedikit 10 buah donat maka model matematika yang sesuai adalah ...
a.    8x + 5y ≥ 400; 2x + 3y ≥ 120; x ≥ 10; y ≥ 0
b.    8x + 5y ≤ 400; 2x + 3y ≤ 120; x ≥ 10; y ≥ 0
c.    8x + 5y ≥ 400; 2x + 3y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0
d.    5x + 8y ≥ 400; 3x + 2y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0
e.    5x + 8y ≥ 400; 3x + 2y ≤ 12; x ≥ 10; y ≥ 0
PEMBAHASAN:
Donat = x
Roti = y
Soal di atas kakak rangkum dalam tabel berikut:

Mari kita ubah tabel di atas menjadi bentuk matematika:
-    80x + 50y ≤ 4000 atau 8x + 5y ≤ 400
-    40x + 60y ≤ 2400 atau 2x + 3y ≤ 120
-    Jika ia harus membuat paling sedikit 10 buah donat = x ≥ 10
-    y ≥ 0
JAWABAN: B

14.    Nilai minimal dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat;
4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...
a.    50
b.    40
c.    30
d.    20
e.    10
PEMBAHASAN:
-    4x + y = 20
Jika x = 0, maka y = 20 ... (0, 20)
Jika y = 0, maka x = 5 .... (5, 0)
-    x + y = 20
jika x = 0, maka y = 20... (0, 20)
jika y = 0, maka x = 20 ... (20, 0)
-     x + y = 10
Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10)
Jika y = 0, maka x = 10 ... (10, 0)
Yuk gambar lagi untuk mengetahui HP-nya:

-    Titik A (0, 20)
Maka nilai dari fungsi obyektif  z = 3x + 6y adalah: 3.0 + 6.20 = 120
-    Titik B adalah titik potong antara 4x + y = 20 dan x + y = 10, maka titik B adalah:

     10/3 + y = 10
     y = 10 – 10/3
     y = 30/3 – 10/3
     y = 20/3 ... titik B (10/3, 20/3)
Maka nilai dari fungsi obyektif  z = 3x + 6y adalah: 3.10/3 + 6.20/3 = 10 + 40 = 50
-    Titik C (20, 0)
Maka nilai dari fungsi obyektif  z = 3x + 6y adalah: 3.20 + 6.0 = 60
-    Titik D (10, 0)
Maka nilai dari fungsi obyektif  z = 3x + 6y adalah: 3.10 + 6.0 = 30
Sehingga, nilai minimalnya adalah 30
JAWABAN: C

15.    Disebuah kantin, Ani dan kawan-kawan memayar tidak lebih dari Rp35.000 untuk 4 mangkok bakso dan 6 gelas es yang dipesannya, sedang Adi dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp50.000,-  untuk 8 mangkok bakso dan 4 gelas es. Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es, maka maksimum yang harus kita bayar adalah ...
a.    Rp27.500,-
b.    Rp30.000,-
c.    Rp32.500,-
d.    Rp35.000,-
e.    Rp37.500,-
PEMBAHASAN:
Harga 1 mangkok bakso = x
Harga 1 gelas es = y
Kalimat matematika untuk soal di atas adalah:
4x + 6y ≤ 35000
8x + 4y ≤ 50000
x ≥ 0
y ≥ 0
Karena bakso dan gelas tidak mungkin 0, maka kita langsung saja mencari titik potong antara garis 4x + 6y = 35000 dan 8x + 4y = 50000:

    8x + 4(2500) = 50.000
    8x + 10.000 = 50.000
    8x = 40.000
     x = 5.000
Maka, harga maksimum untuk 1 mangkok bakso = Rp5.000,- dan harga maksimum untuk 1 gelas es adalah Rp2.500
Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es, maka maksimum yang harus kita bayar adalah: 5(5.000) + 3(2.500) = 25.000 + 7.500 = 32.500
JAWABAN: C

16.    Nilai maksimum dari 20x + 8 untuk x dan y yang memenuhi x + y ≥ 20, 2x + y ≤ 48, 0 ≤ x ≤ 20, dan 0 ≤ y ≤ 48 adalah ...
a.    408
b.    456
c.    464
d.    480
e.    488
PEMBAHASAN:
-    x + y = 20
jika x = 0, maka y = 20 ...(0, 20)
jika y = 0, maka x = 20... (20, 0)
-    2x + y = 48
Jika x = 0, maka y = 48 ... (0, 48)
Jika y = 0, maka x = 24 ... (24, 0)
   0 ≤ x ≤ 20
x = 0 dan x = 20
-    0 ≤ y ≤ 48
y = 0 dan y = 48
Gambar dulu, supaya tahu HP-nya:

-    Titik A (0, 48)
Maka nilai fungsi obyektif  20x + 8 adalah: 20(0) + 8 = 8
-    Titik B adalah titik potong antara garis x = 20 dan 2x + y = 48, maka titik B adalah:
2(20) + y = 48
40 + y = 48
y = 8 ... titik B (20, 8)
Maka nilai fungsi obyektif  20x + 8 adalah: 20(20) + 8 = 408
-    Titik C (20, 0)
Maka nilai fungsi obyektif  20x + 8 adalah: 20(20) + 8 = 408
-    Titik D (0, 20)
Maka nilai fungsi obyektif  20x + 8 adalah: 20(0) + 8 = 8
Jadi, nilai maksimumnya adalah 408
JAWABAN: A

17.    Perhatikan gambar!
Nilai maksimum f(x, y) = 60x + 30y untuk (x, y) pada daerah yang diarsir adalah ...

a.    200
b.    180
c.    120
d.    110
e.    80
PEMBAHASAN:
Perhatikan gambarnya:

-    Persamaan garis p adalah: 6x + 3y = 18 atau 2x + y = 6
-    Persamaan garis q adalah: 4x + 8y = 32 atau x + 2y = 8
Dari daerah hasil di atas, diketahui titik pojoknya:
-    Titik A (0, 6)
Maka nilai obyektif untuk fungsi f(x, y) = 60x + 30y adalah: 60(0) + 30(6) = 180
-    Titik B adalah titik potong antara garis 2x + y = 6 dan 4x + 3y = 12, maka titik B adalah:

    2(4/3) + y = 6
    y = 6 – 8/3
    y = 18/3 – 8/3
   y = 10/3 ... titik B (4/3, 10/3)
Maka nilai obyektif untuk fungsi f(x, y) = 60x + 30y adalah: 60(4/3) + 30(10/3) = 80 + 100 = 180
-    Titik C (0, 4)
Maka nilai obyektif untuk fungsi f(x, y) = 60x + 30y adalah: 60(0) + 30(4) = 120
Sehingga nilai maksimumnya adalah 180
JAWABAN: B

18.    Seseorang diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan 25 unitvitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,- perbiji dan tablet II Rp8.000,- perbiji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet perhari adalah ...
a.    Rp12.000,-
b.    Rp14.000,-
c.    Rp16.000,-
d.    Rp18.000,-
e.    Rp20.000,-
PEMBAHASAN:
Tablet jenis I = x
Tablet jenis II = y
Soal di atas kakak rangkum dalam tabel berikut:

Kalimat metematika dari tabel di atas adalah:
5x + 10y ≥ 25
3x + y ≥ 5
Fungsi obyektif F(x, y) = 4000x + 8000y
Mari kita kerjakan kalimat matematika di atas:
-    5x + 10y = 25
Jika x = 0, maka y = 2,5 ... (0, 2,5)
Jika y = 0, maka x = 5 ... (5, 0)
-    3x + y = 5
Jika x = 0, maka y = 5 ... (0, 5)
Jika y = 0, maka x = 5/3 ... (5/3, 0)
Selanjutnya kita gambar:

-    Titik A (0, 5)
Maka nilai obyektif fungsi F(x, y) = 4000x + 8000y adalah: 4000(0) + 8000 (5) = 40.000
-    Titik B adalah titik potong antara garis 5x + 10y = 25 dan 3x + y = 5, maka titik B adalah:

     3(1) + y = 5
     y = 5 – 3
     y = 2 ... titik B (1, 2)
Maka nilai obyektif fungsi F(x, y) = 4000x + 8000y adalah: 4000(1) + 8000 (2) = 4.000 + 16.000 = 20.000
-    Titik C (5, 0)
Maka nilai obyektif fungsi F(x, y) = 4000x + 8000y adalah: 4000(5) + 8000 (0) = 20.000
Jadi, pengeluaran minimal adalah Rp20.000,-
JAWABAN: E

19.    Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung bus dan mobil sebanyak 58 buah. Tiap mobil memerlukan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parkir tiap mobil Rp5.000,- dan bus Rp7.000,-. Jika tempat parkir penuh, hasil dari biaya parkir paling banyak adalah ...
a.    Rp197.500,-
b.    Rp220.000,-
c.    Rp290.000,-
d.    Rp325.000,-
e.    Rp500.000,-
PEMBAHASAN:
Mobil: x
Bus: y
Mampu menampung bus dan mobil sebanyak 58 buah = x + y ≤ 58
Tiap mobil memerlukan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Tempat parkir seluas 600 m2 = 6x + 24y ≤ 600
Fungsi obyektif = Biaya parkir tiap mobil Rp5.000,- dan bus Rp7.000,- = 5000x + 7000y
Mari kita kerjakan model matematika di atas:
-    x + y = 58
Jika x = 0,maka y = 58 ... (0, 58)
Jika y = 0, maka x = 58 ... (58, 0)
-    6x + 24y = 600
Jika x = 0, maka y = 25 ... (0, 25)
Jika y = 0, maka x = 100 ...(100, 0)
Yuk, kita gambar untuk mengetahui daerah hasilnya:

-    Titik A (0, 25)
Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(0) + 7000(25) = 187.500
-    Titik B adalah titik potong antara garis x + y = 58 dan 6x + 24y = 600, maka titik B adalah:

    14 + y = 58
    y = 44 ... titik B (14, 44)
Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(14) + 7000(44) = 220.000 + 105.000 = 325.000
-     Titik C (58, 0)
Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(58) + 7000(0) = 290.000
Jadi, hasil paling banyak adalah Rp325.000
JAWABAN: D

20.    Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan luas rata-rata bus 24 m2. Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda 4 (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2.000,- dan bus Rp5.000,- maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah ...
a.    Rp40.000,-
b.    Rp50.000,-
c.    Rp60.000,-
d.    Rp75.000,-
e.    Rp90.000,-
PEMBAHASAN:
Mobil = x
Bus = y
-    Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan luas rata-rata bus 24 m2 = 6x + 24y ≤ 360
-    Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda 4 (mobil dan bus) = x + y ≤ 30
-    Fungsi oyektif = 2000x + 5000y
Kita kerjakan model matematika di atas:
-    6x + 24y = 360
Jika x = 0, maka y = 15 ... (0, 15)
Jika y = 0, maka x = 60 ... (60, 0)
-    x + y = 30
Jika x = 0, maka y = 30 ... (0, 30)
Jika y = 0, maka x = 30 ... (30, 0)
Yuk, kita gambar untuk mengetahui daerah hasilnya:

-    titik A (0, 15)
maka nilai Fungsi oyektif = 2000x + 5000y = 2000(0) + 5000(15) = 75.000
-    titik B perpotongan 6x + 24y = 360 dan x + y = 30, maka titik B;
 
    x + 10 = 30
    x = 20 ... titik B (20, 10)
maka nilai Fungsi oyektif = 2000x + 5000y = 2000(20) + 5000(10) = 40.000 + 50.000 = 90.000
-    titik C (30, 0)
maka nilai Fungsi oyektif = 2000x + 5000y = 2000(30) + 5000(0) = 60.000
Jadi, pendapatan terbesar adalah 90.000
JAWABAN: E

21.    Disebuah kantin, Ani dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp35.000,- untuk 4 mangkok bakso dan 6 gelas es yang dipesannya, sedang Adi dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp50.000,- untuk 8 mangkok bakso dan 4 gelas es. Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es maka maksimum yang harus kita bayar ...
a.    Rp27.500,-
b.    Rp30.000,-
c.    Rp32.500,-
d.    Rp35.000,-
e.    Rp37.500,-
PEMBAHASAN:
Bakso = x
Es = y
-    Ani dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp35.000,- untuk 4 mangkok bakso dan 6 gelas es yang dipesannya = 4x + 6y ≤ 35.000
-    Adi dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp50.000,- untuk 8 mangkok bakso dan 4 gelas es = 8x + 4y ≤ 50.000
Kita harus mencari harga semangkok bakso dan segelas es dengan cara mencari titik potong garis  4x + 6y = 35.000 dan garis 8x + 4y = 50.000

    8x + 4(2.500) = 50.000
    8x + 10.000 =50.000
    8x = 40.000
     x = 5.000
Jadi, harga semaksok bakso = 5.000 dan segelas es 2.500
Maka, jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es maka maksimum yang harus kita bayar: 5(5.000) + 3(2.500) = 25.000 + 7.500 = 32.500
JAWABAN: C

22.    Nilai minimum dari -2x + 4y + 6 untuk x dan y yang memenuhi 2x + y – 20 ≤ 0, 2x – y + 10 ≤ 0, x + y – 5 ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah ...
a.    46
b.    51
c.    61
d.    86
e.    90
PEMBAHASAN:
-    2x + y – 20 = 0 atau 2x + y = 20
Jika x= 0, maka y = 20 ... (0, 20)
Jika y = 0, maka x = 10 ... (10, 0)
-    2x – y + 10 = 0 atau 2x - y = -10
Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10)
Jika y = 0, maka x = -5 ... (-5, 0)
-    x + y – 5 = 0 atau x + y = 5
Jika x = 0, maka y = 5 ... (0, 5)
Jika y = 0, maka x = 5 ... (5, 0)
Yuk, kita gambar:

-    titik A (0, 20)
Maka nilai obyektif fungsi -2x + 4y + 6 = -2(0) + 4(20) + 6 = 80 + 6 = 86
-    titik B adalah titik potong garis 2x + y = 20 dan 2x - y = -10, maka titik B adalah:

     2x + 15 = 20
     2x = 5
     x = 5/2 ... titik b (5/2, 15)
Maka nilai obyektif fungsi -2x + 4y + 6 = -2(5/2) + 4(15) + 6 = -5 + 60 + 6 = 61
-    titik C (0, 10)
Maka nilai obyektif fungsi -2x + 4y + 6 = -2(0) + 4(10) + 6 = 40 + 6 = 46
Jadi, nilai minimumnya adalah 46
JAWABAN: A

23.    Perhatikan gambar!

Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f(x, y) = 7x + 6y adalah = ...
a.    88
b.    94
c.    102
d.    106
e.    196
PEMBAHASAN:
Pada gambar di atas ada 3 titik kritis yang membatasi HP, yaitu:
-    Titik (0, 15)
Maka nilai obyektif f(x, y) = 7x + 6y = 7(0) + 6(15) = 90
-    Titik (12, 0)
Maka nilai obyektif f(x, y) = 7x + 6y = 7(12) + 6(0) = 84
-    Titik potong dua garis:
Persamaan garis I = 20x + 12y = 20.12 = 20x + 12y = 240 atau 5x + 3y = 60
Persamaan garis II = 15x + 18y = 15.18 = 15x + 18y = 270 atau 5x + 6y = 90
Maka titik potongnya:

    5x + 3(10) = 60
    5x = 60 – 30
    5x = 30
    x = 6 ... titik potongnya (6, 10)
Maka nilai obyektif f(x, y) = 7x + 6y = 7(6) + 6(10) = 42 + 60 = 102
Jadi, nilai maksimumnya adalah 102
JAWABAN: C

24.    Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp6.000.000,-/ unit dan tipe B adalah Rp4.000.000,-/ unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ...
a.    Rp550.000.000,-
b.    Rp600.000.000,-
c.    Rp700.000.000,-
d.    Rp800.000.000,-
e.    Rp900.000.000,-
PEMBAHASAN:
Rumah tipe A = x
Rumah tipe B = y
100x + 75y ≤ 10.000 atau 4x + 3y ≤ 400
x + y ≤ 125
fungsi obyektif = 6.000.000x + 4.000.000y
Kita gambar grafiknya yuk:
-    4x + 3y = 400
Jika x = 0, maka y = 400/3 ... (0, 400/3)
Jika y = 0, maka x = 100 ... (100, 0)
-    x + y = 125
jika x = 0, maka y = 125 ... (0, 125)
jika y = 0, maka x = 125 ... (125, 0)

-    titik A (0, 125)
Maka nilai fungsi obyektif 6.000.000x + 4.000.000y = 6.000.000(0) + 4.000.000(125) = 500.000.000
-    titik B adalah titik potong 4x + 3y = 400 dan x + y = 125, maka titik B adalah:

    x + 100 = 125
    x = 25 ... titik B (25, 100)
Maka nilai fungsi obyektif 6.000.000x + 4.000.000y = 6.000.000(25) + 4.000.000(100) = 150.000.000 + 400.000.000 = 550.000.000
-     titik C (100, 0)
Maka nilai fungsi obyektif 6.000.000x + 4.000.000y = 6.000.000(100) + 4.000.000(0) = 600.000.000
Jadi, keuntungan maksimumnya 600.000.000
JAWABAN: B

25.    Nilai minimum dari z = 2x + 3y dengan syarat x + y ≥ 4, 5y – x ≤ 20, y ≥ x, y ≥ 0, x ≥ 0 adalah ...
a.    5
b.    10
c.    0
d.    1
e.    2
PEMBAHASAN:
-    x + y = 4
Jika x = 0, maka y = 4 ... (0, 4)
Jika y = 0, maka x = 4 ... (4, 0)
-    5y – x = 20
Jika x = 0, maka y = 4 ... (0, 4)
Jika y = 0, maka x = -20 ... (-20, 0)
-    y = x ... (0, 0)
Yuk, kita gambar grafiknya:

-    titik A (0, 4)
Maka nilai obyektif z = 2x + 3y = 2(0) + 3(4) = 12
-    titik B adalah titik potong x + y = 4 dan y = x, maka titik B adalah;
x + y = 4
x + x = 4
2x = 4
x = 2, karena y = x maka y = 2 ... titik B (2, 2)
Maka nilai obyektif z = 2x + 3y = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10
-    titik C adalah titik potong 5y – x = 20 dan y = x, maka:
5x – x = 20
4x = 20
x = 5, karena y = x, maka y = 5 ... titik C (5, 5)
Maka nilai obyektif z = 2x + 3y = 2(5) + 3(5) = 10 + 15 = 25
Jadi, nilai minimumnya adalah 10
JAWABAN: B





Related Posts

10 comments:

  1. Kesalahan pada nomor 8. Titik E (0, 15) itu salah, yang benar (0, 10).

    ReplyDelete
    Replies
    1. Terima kasih untuk masukannya.. Akan kami perbaiki..

      Delete
  2. Terima kasih banyak atas bantuannya

    ReplyDelete
  3. Terimakasih atas bantuannya aku jadi mengerti. Contohnya nomor satu

    ReplyDelete
  4. http://mathcyber1997.com/ KUNJUNGI yaaa

    ReplyDelete
  5. Alhamdulillah. Bisa diserap dengan baik, maaf ,,, mau saran sedikit ,,, kalo bisa diperbanyak soal-soal ujian kelas 6 beserta pembahasannya, karna sebentar lagi kan anak anak kelas 6 mau ujian. Terima kasih

    ReplyDelete
  6. Permisi kak, itu yang nomor 19 harusnya isinya 318.000, titik potongnya harusnya 44,14 ada kesalahan sewaktu eleminasi.

    Terimakasih kak soal-soalnya membantu sekali.

    ReplyDelete
  7. Kak, mau nanya u dan du itu cara mengetahuinya bagaimana?
    u dan du itu apa?
    Tolong dijawab kak, soalnya saya benar benar mau belajar tentang integral kak!

    ReplyDelete
  8. permisi mau nanya, itu No.5 di soal tulisannya nilai MAKSIMUM fungsi obyektif, nah kenapa pas di hasilnya jadi Nilai MINIMUM ?. Apakah kata obyektif mempengaruhi hasilnya ?

    ReplyDelete