Cara Menghitung Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan Linear dan Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Hallo... kalian yang sedang kesulitan dengan materi tentang pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat... latihan soal ini adalah jawaban dari kegundahan kalian... yuk kita mulai latihannya.. siapkan alat tulis kalian...

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 3 ≤ 2x + 3 adalah...

a. x < 3

b. x ≤ 3

c. x < -3

d. x ≤ -3

e. x ≤ 0

Jawab:

4x – 3 ≤ 2x + 3

4x – 2x ≤ 3 + 3

2x ≤ 6

x ≤ 6/2

x ≤ 3

Jawaban yang tepat B.

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah....

a. x ≤ 6

b. x ≤ 7

c. x ≥ 4

d. x ≥ 6

e. x ≥ 7

Jawab:

  (semua kalikan 6)

2(x – 1) + 3 ≤ 3x – 6

2x – 2 + 3 ≤ 3x – 6

2x + 1 ≤ 3x - 6

2x – 3x ≤ -6 – 1

-x ≤ -7

x ≥ -7/-1

x ≥ 7

Jawaban yang tepat E.

3. Jika pertidaksamaan 2x – a > ½ (3x – 1) + ax mempunyai penyelesaian x > 5, maka nilai a yang memenuhi adalah...

a. – ¾

b. – 3/8

c. ½ 

d. ¼ 

e. ¾ 

Jawab:

x > 5, maka misal x = 6. Kita Subtitusi x = 6 ke pertidaksamaan:

2x – a > ½ (3x – 1) + ax

2(6) – a = ½ (3(6) – 1) + a(6)

12 – a = ½ (18 – 1) + 6a

12 – a = ½ . 17 + 6a

12 – a = 8,5 + 6a

-a – 6a = 8,5 – 12

-7a = -3,5

a = -3,5/-7

a = ½ 

Jawaban yang tepat C.

4. Penyelesaian dari pertidaksamaan: 3x² – 8x + 7 > 2x² – 3x + 1 adalah...

a. 2 < x < 3

b. 2 < x < 5

c. -3 < x < -2

d. x < 2 atau x > 3

e. x < -3 atau x > -2

Jawab:

3x² – 8x + 7 > 2x² – 3x + 1

3x² – 2x² – 8x + 3x + 7 – 1 > 0

x² – 5x + 6 > 0

(x – 2)(x – 3) > 0

x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = 2     x = 3

Jadi, nilai HP = x < 2 atau x > 3

Jawaban yang tepat D.

5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2) adalah...

a. {x | 2 ≤ x ≤ 3}

b. {x | x ≤ 2 atau x ≥ 3}

c. {x | -2 ≤ x ≤ 1}

d. {x | -1 ≤ x ≤ 2}

e. {x | x ≤ -1 atau x ≥ 2}

Jawab:

(x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2) 

3x – x² – 6 + 2x ≥ 4x – 8

-x² + 3x + 2x – 4x – 6 + 8 ≥ 0

-x² + x + 2 ≥ 0

(-x + 2)(x + 1) ≥ 0

-x + 2 = 0 atau x + 1 = 0

x = 2             x = -1

Jadi, HP = {x | -1 ≤ x ≤ 2}

Jawaban yang tepat C.

6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (x² + 2)² – 5(x² + 2)  > 6 adalah....

a. x < -1 atau x > 6

b. x < -5 atau x > 2

c. x < -2 atau x > 6

d. x < -2 atau x > 5

e. x < -2 atau x > 2

Jawab:

(x² + 2)² – 5(x² + 2) > 6

Misal x² + 2 = p

p² – 5p > 6

p² – 5p – 6 > 0

(p – 6)(p + 1) > 0

p – 6 = 0 atau p + 1 = 0

p = 6     p = -1

Untuk p = 6, nilai x nya:

x² + 2 = p

x² + 2 = 6

x² = 6 – 2

x² = 4

x = √4

x = ± 2

Untuk p = -1, nilai x nya:

x² + 2 = p

x² + 2 = -1

x² = -1 – 2

x22 = -3

x tidak ada yang memenuhi

Jadi, HP = x < -2 atau x > 2

Jawaban yang tepat E.

7. Jika {x ϵ R | a < x < b} merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x – 1)² +< 6, maka nilai a + b sama dengan...

a. 4

b. 2

c. 1

d. -2

e. -4

Jawab:

(x – 1)² + <6

Misal, x – 1 = p

p²+ < 6

p² + p < 6

p² + p – 6 < 0

(p – 2)(p + 3) < 0

p – 2 = 0 atau p + 3 = 0

p = 2      p = -3

Untuk p = 2, nilai x nya:

x – 1 = p

x – 1 = 2

x = 2 + 1

x = 3

Untuk p = -3

x – 1 = p

x – 1 = -3

x = -3 + 1

x = -2

Karena a < x < b, maka dapat kita tentukan bahwa nilai a = -2 dan b = 3

Maka, nilai a + b = -2 + 3 = 1

Jawaban yang tepat C.

8. Diketahui persamaan parabola y = 2x² + 4x – 6 dan garis y = x – 4. Agar parabola berada di atas garis, maka batas minimal nilai x yang memenuhi adalah...

a. -2 < x < ½ 

b. x < -2 atau x > ½ 

c. – ½ < x < 2

d. x < - ½ atau x > 2

e. ½ < x < 2

Jawab:

y = 2x² + 4x – 6 (subtitusi y dengan y = x – 4)

x – 4 = 2x² + 4x – 6

2x² + 4x – x – 6 + 4 = 0

2x² + 3x – 2 = 0

Karena parabola di atas garis, artinya tidak memotong ataupun menyinggung, maka:

2x² + 3x – 2 < 0

(2x – 1)(x + 2) = 0

2x – 1 = 0    atau x + 2 = 0

2x = 1          x = -2

x = ½ 

Jadi, batas nilai x adalah -2 < x < ½ 

Jawaban yang tepat A.

9. Garis bilangan yang memenuhi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x²  – 6x – 7 ≥ 0 adalah...

Jawab:

x² – 6x – 7 ≥ 0

(x – 7)(x + 1) = 0

x – 7 = 0 atau x + 1 = 0

x = 7       x = -1

Jawaban yang tepat B.

10. Garis bilangan yang merupakan himpunan penyelesaian dari kedua pertidaksamaan x² – 9 < 0 dan 2x – 4 ≥ 0 adalah...

Jawab:

x² – 9 < 0 dan 2x – 4 ≥ 0

x² – 9 < 0

x² < 9

x < √9

x < ± 3

Untuk 2x – 4 ≥ 0

2x ≥ 4

x ≥ 4/2

x ≥ 2

Jawaban yang tepat D.

11. Nilai x yang memenuhi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x²  – x – 6 ≥ 0, dinyatakan dalam notasi...

a. {x | x < - 2 dan x > x ϵ R }

b. {x | x ≤ - 2 dan x ≥  x ϵ R }

c. {x | x ≤   dan x ≥ 2, x ϵ R }

d. {x |   ≤ x ≤ 2, x ϵ R }

e. {x | -2  ≤ x ≤  x ϵ R }

Jawab:

2x² – x – 6 ≥ 0

(2x + 3)(x – 2) ≥ 0

2x + 3 = 0 atau x – 2 = 0

2x = -3             x = 2

x = -3/2 

x = 

Jadi, HP nya = {x | x ≤   dan x ≥ 2, x ϵ R}

Jawaban yang tepat C.

12. Notasi pembentuk himpunan dari penyelesaian pertidaksamaan 6x – 9 < 0 adalah...

a. { x | x <  x ϵ R }

b. { x | x ≤  x ϵ R }

c. { x | x >  x ϵ R }

d. { x | x ≥  x ϵ R }

e. { x | x < , x ϵ R }

Jawab:

6x – 9 < 0

6x < 9

x < 9/6

x < 

Jadi, notasi pembentuk himpunannya = { x | x <  x ϵ R}

Jawaban yang tepat A.

Perhatikan gambar berikut! (untuk soal nomor 13 – 15)

13. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan dua variabel linear kuadrat x – 4y ≤ -4; x²  – 4x + 4 ≥ y; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah...

a. VI

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan arsirannya:

x – 4y ≤ -4 yang diarsir biru

x²  – 4x + 4 ≥ y yang diarsir merah

Jadi, HP ditunjukkan oleh angka III.

Jawaban yang tepat C.

14. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan dua variabel linear kuadrat x – 4y ≥ -4; x²  – 4x + 4 ≥ y; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah...

a. VI

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan arsirannya:

x – 4y ≥ -4 yang diarsir biru

x²  – 4x + 4 ≥ y yang diarsir merah

Jadi, HP nya daerah VI

Jawaban yang tepat A.

15. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan dua variabel linear kuadrat x – 4y ≥ -4; x²  – 4x + 4 ≤ y; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah...

a. VI

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan arsirannya:

x – 4y ≥ -4 yang diarsir biru

x²  – 4x + 4 ≤ y yang diarsir merah

Jadi, HP nya daerah V.

Jawaban yang tepat E.

16. Perhatikan gambar di bawah ini!

Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian dari...

a. x² – y ≤ -4 dan x² + y ≤ 9

b. x² – y ≥ -4 dan x² + y ≤ 9

c. x² – y ≥ -4 dan x² + y ≥ 9

d. x² + y ≤ -4 dan x² - y ≥ 9

e. x² + y ≤ -4 dan x² + y ≤ 9

Jawab:

Persamaan parabola yang pertama (yang di atas): melalui puncak (0, 9) dan titik (3, 0)

y = a(x – p)² + q

0 = a(3 – 0)² + 9

0 = 9a + 9

9a = -9

a = -9/9

a = -1

Maka, persamaannya menjadi y = -1(x – 0)² + 9

y = -x² + 9 atau x2 + y = 9

Karena yang diarsir di bawah kurva, maka pertidaksamaannya menjadi: x² + y ≤ 9

Persamaan parabola yang kedua (yang di bawah): melalui puncak (0, -4) dan titik (2, 0)

y = a(x – p)² + q

0 = a(2 – 0)² - 4

0 = 4a - 4

-4a = -4

a = -4/-4

a = 1

Maka, persamaannya menjadi y = 1(x – 0)² - 4

y = x² - 4 atau x² - y = 4

Karena yang diarsir di atas kurva, maka pertidaksamaannya menjadi: x² - y ≤ 4

Jadi, pertidaksamaannya adalah: x² - y ≤ 4 dan x² + y ≤ 9

Jawaban yang tepat A.

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor 17 – 19!

17. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat (KK) x² – 6x + 9 ≤ y; -x² + 2x + 8 ≤ y ditunjukkan oleh nomor...

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan daerah arsiran:

x² – 6x + 9 ≤ y diarsir warna biru

-x² + 2x + 8 ≤ y diarsir warna merah

Jadi, HP ditunjukkan oleh nomor IV (yang kena arsir merah dan biru).

Jawaban yang tepat D.

18. x² – 6x + 9 ≤ y; -x² + 2x + 8 ≥ y memiliki daerah penyelesaian dengan nomor...

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan daerah arsiran:

x² – 6x + 9 ≤ y diarsir warna biru

-x² + 2x + 8 ≥ y diarsir warna merah

HP ditunjukkan oleh daerah III (yang kena arsir biru dan merah)

Jawaban yang tepat C.

19. Sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat (KK) x²  – 6x + 9 ≥ y; -x²  + 2x + 8 ≥ y memiliki daerah penyelesaian dengan nomor...

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan daerah arsiran:

x² – 6x + 9 ≥ y diarsir warna biru

-x²  + 2x + 8 ≥ y diarsir warna merah

HP ditunjukan oleh daerah II (yang terkena arsiran merah dan biru)

Jawaban yang tepat B.

20. Sebuah roket ditembakkan ke atas dan setelah t detik mencapai ketinggian h meter. Ketinggian roket tersebut ditentukan dengan rumus h(t) = 150t – 5t². Waktu yang diperlukan roket untuk mencapai ketinggian tidak kurang dari 1.000 meter adalah...

a. 10 – 20 detik

b. 20 – 30 detik

c. 30 – 40 detik

d. 40 – 50 detik

e. > 50 detik

Jawab:

h(t) = 150t – 5t²

150t – 5t² ≥ 1.000

-5t² + 150t – 1.000 ≥ 0 (bagi dengan 5)

t² – 30t + 200 ≥ 0

(t – 20)(t – 10) ≥ 0

t – 20 = 0 atau t – 10 = 0

t = 20     t = 10

Jadi, waktu yang diperlukan roket untuk mencapai ketinggian tidak kurang dari 1.000 meter adalah 10 – 20 detik.

Jawaban yang tepat A.

21. Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah...

a. 0 ≤ x ≤ 4

b. 0 ≤ x ≤ 2

c. 2 ≤ x ≤ 4

d. x ≥ 2

e. x ≤ 4

Jawab:

 (kuadratkan)

2x – 4 ≤ 4

2x ≤ 4 + 4

2x ≤ 8

x ≤ 8/2

x ≤ 4

Jawaban yang tepat E.

22. Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan himpunan penyelesaian dari...

a. x²  + y ≥ 1 ; x²   + x + y ≤ 2 ; x ≤ 0 ; y ≥ 0

b. x²  + y ≥ 1 ; x²   + x + y ≤ 2 ; x  ≥ 0 ; y ≥ 0

c. x²  + y ≥ 1 ; x²   + x + y ≥ 2 ; x ≤ 0 ; y ≥ 0

d. x²  + y ≤ 1 ; x²   + x + y ≤ 2 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

e. x²  - y ≥ 1 ; x²   + x + y ≥ 2 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Jawab:

Persamaan kurva yang pertama, yang memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (1, 0) juga melalui titik (0, 2) adalah:

y = a (x – x1)(x – x2)

2 = a (0 + 2)(0 – 1)

2 = a (2) (-1)

2 = -2a

a = -2/2

a = -1

Sehingga, persamaannya menjadi:

y = -1 (x + 2)(x – 1)

y = -1 (x²  + x – 2)

y = -x²  – x + 2

x² + x + y = 2

Karena yang diarsir di bawahnya, maka pertidaksamaannya menjadi:

x² + x + y ≤ 2

Persamaan kurva yang kedua, melalui titik puncak (0, 1) dan titik (1, 0) adalah:

y = a (x – p)²  + q

0 = a (1 – 0)²  + 1

0 = a (1) + 1

0 = a + 1

a = -1

Sehingga persamaan kurvanya menjadi:

y = -1 (x – 0)²  + 1

y = -x²  + 1

x² + y = 1

Karena yang diarsir di bawah kurva, maka pertidaksamaannya menjadi: x²  + y ≤ 1

Jadi, pertidaksamaannya terdiri dari: x²  + y ≤ 1 ; x²   + x + y ≤ 2 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Jawaban yang tepat D.

23. Umur kakak sekarang ditambah kuadrat umur adik sekarang tidak kurang dari 9 tahun. Satu tahun yang lalu, kuadrat dari umur adik dikurangi umur kakak tidak lebih dari 17 tahun. Sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah...

a. x²  + y ≤ 9 ; x²  – 2x – y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

b. x²  + y ≥ 9 ; x²  – 2x – y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

c. x²  + y ≥ 9 ; x²  – 2x – y ≥ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

d. x²  + y ≤ 9 ; x²  – 2x – y ≥ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

e. x²  + y ≤ 9 ; x²  – 2x – y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Jawab:

Umur kakak = y

Umur adik = x

x² + y ≥ 9 (persamaan pertama)

(x – 1)²  – (y – 1) ≤ 17

x² – 2x + 1 – y + 1 ≤ 17

x² – 2x – y + 2 ≤ 17

x² – 2x – y ≤ 17 – 2

x² – 2x – y ≤ 15 (persamaan kedua)

Jadi, sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah: x²  + y ≥ 9 ; x²  – 2x – y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Jawaban yang tepat B.

24. Perhatikan gambar berikut!

Daerah yang diarsir pada gambar, merupakan himpunan penyelesaian dari...

a. x² – y ≥ 4; x² + 2x + y ≥ 3; x ≥ 0; y ≥ 0

b. x² + y ≥ 4; x² + 2x + y ≤ 3; x ≥ 0; y ≥ 0

c. x² – y ≥ 4; x² + 2x + y ≤ 3; x ≤ 0; y ≥ 0

d. x² – y ≤ 4; x² + 2x + y ≥ 3; x ≥ 0; y ≤ 0

e. x² + y ≤ 4; x² + 2x + y ≥ 3; x ≤ 0; y ≥ 0

Jawab:

Persamaan kurva yang pertama, yang memotong sumbu x di titik (-3, 0) dan (1, 0) juga melalui titik (0, 3) adalah:

y = a (x – x1)(x – x2)

3 = a (0 + 3)(0 – 1)

3 = a (3) (-1)

3 = -3a

a = 3/-3

a = -1

Sehingga, persamaannya menjadi:

y = -1 (x + 3)(x – 1)

y = -1 (x² + 2x – 3)

y = -x² – 2x + 3

x² + 2x + y = 3

Perhatikan bagian yang diarsir, maka pertidaksamaannya menjadi:

x² + 2x + y ≤ 3

Persamaan kurva yang kedua, yang memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (2, 0) juga melalui titik (0, -4) adalah:

y = a (x – x1)(x – x2)

-4 = a (0 + 2)(0 – 2)

-4 = a (2) (-2)

-4 = -4a

a = -4/-42

a = 1

Sehingga, persamaannya menjadi:

y = 1 (x + 2)(x – 2)

y = 1 (x² – 4)

y = x² – 4

x² - y = 4

Perhatikan daerah yang diarsir, maka pertidaksamaannya menjadi:

x² - y ≥ 4

Jadi, daerah HP dibatasai oleh pertidaksamaan: x² – y ≥ 4; x² + 2x + y ≤ 3; x ≤ 0; y ≥ 0

Jawaban yang tepat C.

25. Perhatikan gambar berikut!

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x² – 2x – y ≤ -1; x² – 2x + y ≥ 3, dan x ≥ 0 adalah...

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. V

Jawab:

Perhatikan daerah yang diarsir:

x² – 2x – y ≤ -1 diarsir warna biru

x² – 2x + y ≥ 3 diarsir warna merah

HP ditunjukkan oleh daerah nomor 1 (karena mendapatkan 2 arsiran merah dan biru)

Jawaban yang tepat A.

Baiklah... sampai nomor 30 saja ya latihan kita hari ini.. sampai bertemu di latihan soal selanjutnya adik-adik...