Soal dan Pembahasan Tentang Persamaan Linear 2 Variabel, Linear Kuadrat, dan Kuadrat-Kuadrat

Hallo adik-adik... jika kalian mengalami kesulitan menentukan himpunan penyelesaian dari soal yang melibatkan persamaan dua variabel linear kuadrat dan persamaan kuadrat-kuadrat, maka artikel ini akan membantu kalian mengasah diri. Melalui berlatih soal, kakak harap kalian akan mulai memahaminya.. yuk kakak temani kalian belajar...

1. Himpunan penyelesaian dari adalah...

a. {(-1,4), (2, 1)}

b. {(2, 0), (1, -4)}

c. {(3, -2), (4, 0)}

d. {(-3, 7), (2, -3)}

e. {(2, -1), (5, -1)}

Jawab:

Subtitusikan persamaan y = x²  – 2x + 1 dalam persamaan x + y = 3

x + x²  – 2x + 1  = 3

x² – x + 1 – 3 = 0

x² – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

x – 2 = 0 dan x + 1 = 0

x = 2             x = -1

selanjutnya kita cari nilai y.

Untuk x = 2

x + y = 3

2 + y = 3

y = 3 – 2

y = 1

Untuk x = -1

x + y = 3

-1 + y = 3

y = 3 + 1

y = 4

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 4), (2, 1)}

Jawaban yang tepat A.

2. Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...

a. -2

b. -1

c. 1

d. -1 atau 1

e. -2 atau 3

Jawab:

2x + 5y = 1 maka,

2x = 1 – 5y

x = (1-5y)/2

Subtitusikan x = (1-5y)/2 dalam persamaan x² + 5xy – 4y² = -10

Persamaan di atas kalikan dengan 4

1 – 10y + 25y² + 2(5y – 25y²) – 16y² = -40

1 – 10y + 25y² + 10y – 50y² – 16y² = -40

-41y² = -40 – 1

y² = -41/-41

y = √1

y = ± 1

Jadi, nilai y adalah -1 atau 1.

Jawaban yang tepat D.

3. Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...

a. -5 atau 3

b. -3 atau 5

c. -6 atau 2

d. 6 atau -2

e. -6 atau -2

Jawab:

Subtitusikan y = -x² + 6x – 5 dalam persamaan y = 7 – 2x

y = 7 – 2x

-x² + 6x – 5 = 7 – 2x

-x² + 6x + 2x – 5 – 7 = 0

-x² + 8x – 12 = 0

x² – 8x + 12 = 0

(x – 6)(x – 2) = 0

x – 6 = 0 atau x – 2 = 0

x = 6             x = 2

Selanjutnya cari nilai y.

Untuk x = 6

y = 7 – 2x

y = 7 – 2(6)

y = 7 – 12

y = -5

Untuk y = 2

y = 7 – 2x

y = 7 – 2(2)

y = 7 – 4

y = 3

Jadi, nilai y yang memenuhi adalah -5 atau 3.

Jawaban yang tepat A.

4. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...

a. -2

b. -1

c. 2

d. -1 atau 2

e. -2 atau 3

Jawab:

x + y = 1, maka

x = 1 – y

Subtitusikan x = 1 – y dalam persamaan x² + y² = 5

(1 – y)² + y² = 5

1 – 2y + y2 + y2 = 5

2y² – 2y + 1 – 5 = 0

2y² – 2y – 4 = 0

Bagi persamaan di atas dengan 2

y² – y – 2 = 0

(y – 2)(y + 1) = 0

y – 2 = 0 atau y + 1 = 0

y = 2             y = -1

Jadi, nilai y adalah -1 atau 2

Jawaban yang tepat D.

5. Penyelesaian yang memenuhi persamaan y = x² – 9x + 18 dan y = x² – 6x adalah...

a. (1, -6)

b. (-6, 1)

c. (0, 6)

d. (-6, 0)

e. (6, 0)

Jawab:

Subtitusikan y = x² – 9x + 18 pada persamaan y = x² – 6x

x² – 9x + 18  = x² – 6x

x² – x² – 9x + 6x = -18

-3x = -18

x = -18/-3

x = 6

Selanjutnya cari nilai y.

y = x² – 6x

y = (6)² – 6(6)

y = 36 – 36

y = 0

Maka, himpunan penyelesaian yang tepat adalah {(6, 0)}

Jawaban yang tepat E.

6. Titik potong antara kurva y = -x² + x + 6 dan y = -5x + 15 adalah...

a. (-3, 0) dan (3, 0)

b. (-3, 0)

c. (3, 0)

d. (-3, 1)

e. (3, 1)

Jawab:

Subtitusikan y = -x² + x + 6 dalam persamaan  y = -5x + 15

-x² + x + 6  = -5x + 15

-x² + x + 5x + 6 – 15 = 0

-x² + 6x – 9 = 0

x² - 6x + 9 = 0

(x – 3) (x – 3) = 0

x – 3 = 0

x = 3

Selanjutnya cari nilai y.

y = -5x + 15

y = -5(3) + 15

y = -15 + 15

y = 0

Jadi, titik potongnya adalah (3, 0).

Jawaban yang tepat C.

7. Agar persamaan garis y = mx + 8 memotong kurva y = x² – 8x + 12 di dua titik, maka nilai m yang memenuhi adalah...

a. m > 1

b. 4 < m < 12

c. -12 < m < -4

d. m = -12 atau m = -4

e. m < -12 atau m > -4

Jawab:

Subtitusikan y = mx + 8 ke dalam persamaan y = x² – 8x + 12

mx + 8  = x² – 8x + 12

-x² + mx + 8x + 8 – 12 = 0

-x² + (m + 8)x – 4 = 0

Persamaan di atas memiliki nilai a = -1, b = m + 8 dan c = -4

Karena memotong di dua titik, maka nilai D > 0

D = b² – 4ac

(m + 8)² – 4 (-1) (-4) > 0

m² + 16m + 64 – 16 > 0

m² + 16m + 48 > 0

(m + 12) (m + 4) > 0

m + 12 = 0 atau m + 4 = 0

m = -12 m = -4

Jadi, nilai m adalah m < -12 atau m > -4

Jawaban yang tepat E.

8. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...

a. 2 atau -3

b. -2 atau 3

c. 2 atau 3

d. -2 atau -3

e. 1 atau -3

Jawab:

Subtisusikan persamaan y = -x² – 2x + 8 dalam persamaan y = x² + 2

-x² – 2x + 8  = x² + 2

-x² – x² – 2x + 8 – 2 = 0

-2x² – 2x + 6 = 0

2x² + 2x – 6 = 0

Sederhanakan persamaan di atas dengan cara dibagi 2.

x² + x – 6 = 0

(x – 2) (x + 3) = 0

x – 2 = 0 atau x + 3 = 0

x = 2             x = -3

Jawaban yang tepat A.

9. Agar kurva y = ax² – (a + 3)x – 1 dan garis y – x + ½ = 0 bersinggungan, maka nilai a yang memenuhi adalah...

a. ½ atau 2

b. -2 atau 8

c. -8 atau -2

d. 8 atau 2

e. -2 atau – ½ 

Jawab:

y – x + ½ = 0, maka

y = x – ½ 

Subtitusikan y = ax² – (a + 3)x – 1 pada persamaan y = x – ½

ax² – (a + 3)x – 1 = x – ½ 

ax² – (a + 3)x – x – 1 + ½ = 0

ax² – ax - 3x – x  – ½ = 0

ax² – ax - 4x – ½ = 0

ax² – (a + 4)x – ½ = 0

Persamaan di atas memiliki a = a , b = -(a + 4) = -a - 4  dan c = -1/2 

Karena garis dan kurva saling bersinggungan, maka nilai D = 0

D = b² – 4ac

(-a - 4)² – 4(a) (-1/2) = 0

a² + 8a + 16 + 2a = 0

a² + 10a + 16 = 0

(a + 2)(a + 8) = 0

a + 2 = 0 atau a + 8 = 0

a = -2             a = -8

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = -2 atau a = -8

Jawaban yang tepat C.

10. Sebuah garis lurus bergradien -3 diketahui memotong kurva y = 2x² + x – 6 di titik (2, 4). Koordinat titik potong lainnya adalah...

a. (-4, 22)

b. (3, -2)

c. (7, 1)

d. (3, 1)

e. (4, 2)

Jawab:

Sebuah garis lurus bergradien -3 , maka nilai m = -3

Untuk garis ax + by + c = 0 rumus m = -a/b

m = -a/b = -3, maka nilai a = 3 dan b = 1

Jadi, garisnya memiliki persamaan 3x + y + c = 0

Karena titik potong yang pertama adalah (2, 4) maka ganti x dan y dengan 2 dan 4. 

3x + y + c = 0

3(2) + 4 + c = 0

6 + 4 + c = 0

10 + c = 0

c = -10

Jadi, persamaan garisnya adalah 3x + y - 10 = 0 atau y = -3x + 10

Selanjutnya kita cari titik potong yang kedua.

Subtitusikan y = 2x² + x – 6 dalam persamaan y = -3x + 10

2x² + x – 6  = -3x + 10

2x² + x + 3x – 6 – 10 = 0

2x² + 4x – 16 = 0

Sederhanakan persamaan di atas dengan dibagi 2.

x² + 2x – 8 = 0

(x – 2) (x + 4) = 0

x – 2 = 0 atau x + 4 = 0

x = 2 x = -4

Kita cari nilai y dari x = -4 saja, karena yang x = 2 sudah diketahui di soal.

y = -3x + 10

y = -3 (-4) + 10

y = 12 + 10

y = 22

Maka, titik potongnya adalah (-4, 22)

Jawaban yang tepat A.

11. Persamaan garis yang menyinggung kurva x² – y + 2x – 3 = 0 dan tegak lurus dengan garis 2y = x + 3 adalah...

a. y + 2x + 7 = 0

b. y + 2x + 3 = 0

c. y + 2x + 4 = 0

d. y + 2x – 7 = 0

e. y + 2x – 3 = 0

Jawab:

Pertama, cari m1 dengan cara menurunkan persamaan kurva.

x² – y + 2x – 3 = 0

y = x2 + 2x – 3

y’ = 2x + 2

m1 = 2x + 2

Kedua, cari m2 dari persamaan garis 2y = x + 3

2y = x + 3

-x + 2y = 3

m = -a/b 

m = -(-1)/2

m = ½ 

m2 = ½ 

Karena saling tegak lurus, maka m1 . m2 = -1

m1 . m2 = -1

(2x + 2) ½ = -1

x + 1 = -1

x = -1 – 1

x = -2

Jika x = -2 maka cari nilai y dengan persamaan x² – y + 2x – 3 = 0.

(-2)² – y + 2(-2) – 3 = 0

4 – y – 4 = 0

y = 0

Berarti titik singgungnya adalah (-2, 0)

Selanjutnya cari persamaan garisnya. Karena tegak lurus, maka m1 . m2 = -1

m1 . ½ = -1

m1 = -2

Persamaan garis melalui titik (-2, 0) dan gradien -2 adalah:

y – y1 = m (x – x1)

y – 0 = -2 (x – (-2)

y = -2x – 4 

y + 2x + 4 = 0

Jadi, jawaban yang tepat C.

12. Persamaan garis yang menyinggung kurva f(x) = - ½ x² + 4x dan tegak lurus dengan garis x + 2y + 10 = 0 adalah...

a. 2x – y + 1 = 0

b. 2x + y + 2 = 0

c. 2x – y + 2 = 0

d. 2x + y – 2 = 0

e. 2x + 2y – 2 = 0

Jawab:

Pertama, cari m1 dengan cara menurunkan persamaan kurva.

f(x) = - ½ x2 + 4x 

f(x)’ = -x + 4

m1 = -x + 4

Kedua, cari m2 dari persamaan garis x + 2y + 10 = 0

x + 2y + 10 = 0 

m = -a/b 

m = - ½ 

m2 = - ½ 

Karena saling tegak lurus, maka m1 . m2 = -1

m1 . m2 = -1

(-x + 4) -½ = -1

 ½ x - 2 = -1

 ½ x = -1 + 2

 ½ x = 1

x = 2 

Jika x = 2 maka cari nilai y dengan persamaan f(x) = - ½ x² + 4x

f(x) = - ½ x² + 4x 

y = - ½ (2)² + 4(2)

y = - ½ . 4 + 8

y = -2 + 8

y = 6

Berarti titik singgungnya adalah (2, 6)

Selanjutnya cari persamaan garisnya. Karena tegak lurus, maka m1 . m2 = -1

m1 . -½ = -1

m1 = 2

Persamaan garis melalui titik (2, 6) dan gradien 2 adalah:

y – y1 = m (x – x1)

y – 6 = 2 (x – 2)

y – 6 = 2x – 4

y – 2x – 6 + 4 = 0

y – 2x – 2  = 0 atau 2x – y + 2 = 0

Jadi, jawaban yang tepat C.

13. Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berturut-turut adalah...

a. 0 dan 2

b. -2 dan 0

c. 3 dan 0

d. 0 dan 3

e. -3 dan 0

Jawab:

Subtitusikan persamaan y = x – 3 dalam persamaan y = x² – 2x – 3

x² – 2x – 3 = x – 3

x² – 2x – x – 3 + 3 = 0

x² – 3x = 0

x(x – 3) = 0

x = 0 atau x – 3 = 0

                x = 3

Cari nilai y:

Untuk x = 0 maka y = x – 3

y = 0 – 3

y = -3

Untuk x = 3 maka y = x – 3 

y = 3 – 3

y = 0

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

14. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah....

a. -1 dan 8

b. -1 dan -6

c. -1 dan 6

d. 1 dan -6

e. 1 dan 7

Jawab:

Subtitusikan y = x² – 4x + 3 dalam persamaan y = 2x² + 3x + 9

2x² + 3x + 9 = x² – 4x + 3

2x² – x² + 3x + 4x + 9 – 3 = 0

x² + 7x + 6 = 0

(x + 6)(x + 1) = 0

x + 6 = 0 dan  x + 1 = 0

x = -6             x = -1

Jadi nilai x yang memenuhi adalah -1 dan -6

Jawaban yang tepat B.

15. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...

a. 0 atau 6

b. 0 atau -6

c. 6

d. 0

e. -6

Jawab:

Subtitusikan y = 8x – x² dalam y = 2x

8x – x² = 2x

-x² + 8x – 2x = 0

-x² + 6x = 0

x(x + 6) = 0

x = 0 atau x + 6 = 0

               x = -6

Jadi, nilai x adalah 0 atau -6

Jawaban yang tepat B.

16. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah...

a. {(-2, 1), (1, -2)}

b. {(-1, 2), (2, -1)}

c. {(-1, -2), (1, 2)}

d. {(-1, -1), (2, 2)}

e. {(1, 1), (-2, -2)}

Jawab:

Cari bentuk lain dari persamaan x + y = 1

x + y = 1

x = 1 – y

Subtitusikan  x = 1 – y dalam persamaan x² + y² = 5

x² + y² = 5

(1 – y)² + y² = 5

1 – 2y + y² + y² = 5

2y² – 2y + 1 - 5  = 0

2y² – 2y – 4 = 0 (sederhanakan dengan cara dibagi 2)

y² – y – 2 = 0

(y – 2)(y + 1) = 0

y – 2 = 0 atau y + 1 = 0

y = 2             y = -1

Cari nilai x:

Untuk y = 2, maka x = 1 – y

x = 1 – 2

x = -1

Untuk y = -1, maka x = 1 – y

x = 1 – (-1)

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: {(2, -1); (-1, 2)}

Jawaban yang tepat B.

17. Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...

a. -6 atau 2

b. 6 atau -2

c. 6 atau 2

d. -3 atau 5

e. -5 atau 3

Jawab:

Subtitusikan persamaan y = -x² + 6x – 5 dalam persamaan y = 7 – 2x

-x² + 6x – 5 = 7 – 2x

-x² + 6x + 2x – 5 – 7 = 0

-x² + 8x – 12 = 0

x² – 8x + 12 = 0

(x – 2)(x – 6) = 0

x – 2 = 0 atau x – 6 = 0

x = 2             x = 6

Selanjutnya kita cari nilai y:

Untuk x = 2, y = 7 – 2x

y = 7 – 2(2)

y = 7 – 4

y = 3

Untuk x = 6, y = 7 – 2x

y = 7 – 2(6)

y = 7 – 12

y = -5

Jadi, nilai y yang memenuhi adalah -5 atau 3.

Jawaban yang tepat E.

18. Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...

a. 24 atau 36

b. 42 atau 63

c. 24 atau 63

d. 24 atau 42

e. 36 atau 63

Jawab:

Subtitusikan y = x² + 6x + 8 dalam persamaan y = -x² + 20x – 12

x² + 6x + 8 = -x² + 20x – 12

x² + x² + 6x – 20x + 8 + 12 = 0

2x² – 14x + 20 = 0 (sederhanakan dengan bagi 2)

x² – 7x + 10 = 0

(x – 5) (x – 2) = 0

x – 5 = 0 atau x – 2 = 0

x = 5             x = 2

Selanjutnya cari nilai y:

Untuk x = 5, y = x² + 6x + 8

y = 5² + 6(5) + 8

y = 25 + 30 + 8

y = 63

Untuk x = 2, y = x² + 6x + 8

y = 222 + 6(2) + 8

y = 4 + 12 + 8

y = 24

Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 24 atau 63.

Jawaban yang tepat C.

19. Himpunan penyelesaian dari adalah...

a. {(3, 0)}

b. {(0, -3)}

c. {(-3, 0)}

d. {(6, -3)}

e. {(-6, 3)}

Jawab:

Subtitusikan y = -x² + x + 6 dalam persamaan y = 15 – 5x

-x² + x + 6 = 15 – 5x

-x² + x + 5x + 6 – 15 = 0

-x² + 6x – 9 = 0

x² – 6x + 9 = 0

(x – 3)(x – 3) = 0

x – 3 = 0

x = 3

Selanjutnya cari nilai y:

Untuk x = 3, y = 15 – 5x

y = 15 – 5(3)

y = 15 – 15

y = 0

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}

Jawaban yang tepat A.

20. Agar kurva y = mx² + x – 2 bersinggungan dengan garis y = 1 – 2x maka nilai m yang memenuhi adalah...

a. -3

b. -1

c. – ¾ 

d. ½ 

e. 4

Jawab:

Subtitusikan y = mx² + x – 2 dengan y = 1 – 2x

mx² + x – 2 = 1 – 2x

mx² + x + 2x – 2 – 1 = 0

mx² + 3x – 3 = 0

Karena bersinggungan, maka nilai D = 0

mx² + 3x – 3 = 0, memiliki a = m, b = 3, dan c = -3

d = 0

b² – 4ac = 0

3² – 4 . m . (-3) = 0

9 + 12m = 0

12 m = -9

m = -9/12

m = - ¾ 

Jadi, jawaban yang tepat C.

Nah... sampai disini dulu ya... semoga materi ini bermanfaat untuk kalian... sampai bertemu di materi selanjutnya...