CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG SUKU BANYAK DAN TEOREMA SISA

Suku banyak kadang disebut juga dengan polinomial. Seberapa banyak sih suku yang akan kita pelajari.. hehe.. yuk kita latihan soalnya:

Materi ini bisa kalian pelajari lewat chanel youtube ajar hitung juga ya... silahkan klik link video berikut...

1.    Diketahui suku banyak Nilai f(x) untuk x = 3 adalah ...
a.    3
b.    2
c.    1
d.    0
e.    -1
PEMBAHASAN:
Kita subtitusikan x = 3 dalam suku banyak

            = 27 – 18 – 3 – 5
            = 9 – 3 – 5
            = 1
JAWABAN: C

2.    Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak dibagi oleh (x – 2) berturut-turut adalah ...
a.    (x – 2) dan -3
b.    (x – 2) dan 3
c.    (x – 2) dan 1
d.    (x + 2) dan 3
e.    (x + 2) dan -1
PEMBAHASAN:
Kita selesaikan dengan cara Horner:

Jadi, hasil baginya (x – 2) dan sisanya 3
JAWABAN: B

3.    Suku banyak f(x) dibagi (x – 2) sisanya 24 dan f(x) dibagi (x + 5) sisanya 10. Apabila f(x) tersebut dibagi sisanya adalah ...
a.    x + 34
b.    x – 34
c.    x + 10
d.    2x + 20
e.    2x – 20
PEMBAHASAN:
Rumusnya adalah P(x) = H(x) . pembagi + (px + q)
Dari soal diketahui:
-    f(x) dibagi (x – 2) sisanya 24, maka:
      f(x) = H(x)(x – 2) + 24
     Subtitusikan x = 2, maka:
     f(2) = H(2)(2 – 2) + (2p + q)
           = 2p + q = 24 .... (i)
-    f(x) dibagi (x + 5) sisanya 10, maka:
      f(x) = H(x)(x + 5) + 10
     Subtitusikan dengan x = -5, maka:
     f(-5) = H(-5)(-5 + 5) + (-5p + q)
            = -5p + q = 10 .... (ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):

subtitusikan p = 2 dalam 2p + q = 24
2(2) + q = 24
q = 24 – 4
q = 20
Jika f(x) dibagi maka:
f(x) = H(x)() + (px + q)
f(x) = H(x) (x – 2) (x + 5) + (px + q)
sisanya adalah px + q = 2x + 20
JAWABAN: D

4.    Suku banyak dibagi oleh sisanya sama dengan ...
a.    16x + 8
b.    16x – 8
c.    -8x + 16
d.    -8x – 16
e.    -8x – 24
PEMBAHASAN:
Pembaginya adalah: , maka:
= 0
    (x – 2) (x + 1) = 0
     x = 2 dan x = -1
Ingat rumus: P(x) = H(x) . pembagi + (px + q), jadi sisanya adalah (px + q), maka:
-    x = 2
     f(2) = 2p + q
      2⁴ – 3(2)3 – 5(2)² + 2 – 6 = 2p + q

     16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q
    -32 = 2p + q ... (i)
-    x = -1
     f(-1) = -p + q
     (-1)⁴ – 3(-1)³ – 5(-1)² + (-1) – 6 = -p + q
     1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -p + q
    -8 = -p + q ...(ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):

subtitusikan p = -8 dalam –p + q = -8
-(-8) + q = -8
q = -16
Jadi, sisanya = px + q = -8x - 16
JAWABAN: D

5.    Diketahui dan adalah faktor dari g(x). Nilai a yang memenuhi adalah ...
a.    -3
b.    -1
c.    1
d.    2
e.    5
PEMBAHASAN:

     x² + x – 6 = 0
     (x + 3)(x - 2) = 0
      x = -3 dan x = 2
Karena h(x) adalah faktor dari g(x), maka:
-    g(-3) = 0
    
   2(-3)³ + a(-3)² + b(-3) + 6 = 0
     -54 + 9a – 3b + 6 = 0
     9a – 3b = 48 ... (i)
-    g(2) = 0

     2(2)³ + a(2)² + b(2) + 6 = 0
    16 + 4a + 2b + 6 = 0
    4a + 2b = - 22
    2a + b = - 11 ... (ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):

JAWABAN: C

6.    Jika f(x) dibagi oleh masing-masing mempunyai sisa 2x + 1 dan 5x + 2 maka f(x) dibagi oleh mempunyai sisa...
a.    22x – 39
b.    12x + 19
c.    12x – 19
d.    -12x + 29
e.    -22x + 49
PEMBAHASAN:
Misalkan sisa pembagiannya S(x) = px+ q
f(x) dibagi oleh sisanya 2x + 1, maka:
S(2) = 2x + 1
S(2) = 2(2) + 1
S(2) = 5
2p + q = 5 ... (i)
f(x) dibagi oleh x2 – 3x atau x(x – 3) --> x = 3 sisanya 5x + 2, maka:
S(3) = 5x + 2
S(3) = 5(3) + 2
S(3) = 17
3p + q = 17 ... (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

Subtitusikan p = 12 dalam 2p + q = 5
2(12) + q = 5
24 + q = 5
q = -19
Maka sisanya: px + q = 12x - 19
JAWABAN: C

 7.    Suku banyak dibagi x + 1 sisanya 1 dan jika dibagi (x – 2) sisanya 43. Nilai a + b = ...
a.    -4
b.    -2
c.    0
d.    2
e.    4
PEMBAHASAN:
-    Dibagi (x + 1) sisanya 1
maka ketika x = -1, h(-1) = 1

     -2 + 5 – a + b = 1
     -a + b = 1 – 3
      -a + b = -2 ... (i)
-    Dibagi (x – 2) sisanya 43
maka ketika x = 2, h(2) = 43

     16 + 20 + 2a + b = 43
     2a + b = 43 – 36
     2a + b = 7 .... (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

Subtitusikan a = 3 dalam 2a + b = 7
2(3) + b = 7
6 + b = 7
b = 1
Maka nilai a + b = 3 + 1 = 4
JAWABAN: E

8.    Salah satu faktor dari adalah (x + 1). Faktor yang lain dari suku banyak tersebut adalah...
a.    (x – 2) dan (x – 3)
b.    (x + 2) dan (2x – 1)
c.    (x + 3) dan (x + 2)
d.    (2x + 1) dan (x – 2)
e.    (2x – 1) dan (x – 3)
PEMBAHASAN:
Salah satu faktornya adalah x + 1 --> x = -1
     f(-1) = 0

     -2 – 5 + p + 3 = 0
      p = 4
Maka, f(x) =
                   = (x + 1)(2x² – 7x + 3)
                   = (x + 1)(2x – 1)(x – 3)
Jadi, faktor yang lainnya adalah (2x – 1) dan (x – 3)
JAWABAN: E

9.    Jika habis dibagi (x – 2) maka ia habis dibagi dengan ...
a.    x – 1
b.    x + 1
c.    x + 2
d.    x – 3
e.    x + 4
PEMBAHASAN:
     x – 2 --> maka ketika x = 2 h(x) = 0

     8 – 24 + ka = 0
     ka = 16
Maka persamaan h(x) =
h(x) dibagi (x – 2):

Jadi, h(x) habis dibagi (x – 2) dan (x + 4)
JAWABAN: E

10.    Dua suku banyak jika dibagi dengan x + 1 akan mempunyai sisa sama, maka nilai 2m + 5 = ...
a.    17
b.    18
c.    24
d.    27
e.    30
PEMBAHASAN:
Misalkan f(x) =
Jika dibagi (x + 1 ) -->  x = -1 akan mempunyai sisa yang sama,maka:
     f(-1) = g(-1)

    -1 -4 – 5 + m = 1 – 3 – 2
    -10 + m = -4
     m = -4 + 10
     m = 6
Maka nilai 2m + 5 = 2(6) + 5 = 17
JAWABAN: A

11.    Suku banyak f(x) = dibagi dengan (x – 2) memberikan hasil bagi dan sisa 17. Nilai a + b = ...
a.    -1
b.    0
c.    1
d.    2
e.    3
PEMBAHASAN:
f(x) =
Ingat rumusnya ya:
f(x) = H(x). P(x) + sisa
f(x) = (x – 2)( ) + 17

Sehingga kita peroleh a = 2, b = -3
Maka nilai a + b = 2 + (-3) = -1
JAWABAN: A

12.    Fungsi f(x) dibagi (x – 1) sisanya 3, sedangkan jika dibagi (x – 2) sisanya 4. Jika dibagi dengan maka sisanya adalah ...
a.    –x – 2
b.    x + 2
c.    x – 2
d.    2x + 1
e.    4x – 1
PEMBAHASAN:
-    f(x) dibagi (x – 1) sisanya 3 --> f(1) = 3
-    f(x) dibagi (x – 2) sisanya 4 --> f(2) = 4
Misalkan sisanya = ax + b, maka
= (x – 2)(x – 1)
Maka sisanya adalah:
f(1) = 3
a + b = 3 ... (i)
f(2) = 4
2a + b = 4 ... (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

Subtitusikan a = 1 dalam a + b = 3
1 + b = 3
b = 2
Maka sisanya adalah: ax + b = x + 2
JAWABAN: B

13.    Banyaknya akar-akar real dari adalah ...
a.    2
b.    3
c.    4
d.    5
e.    6
PEMBAHASAN:

      (x + 1) (x + 1)(x – 2) (x – 3) = 0
      x = -1, x = 2 dan x = 3
Sehingga banyak akar- akarnya ada 3
JAWABAN: B

14.    Jika suku banyak dibagi (x + 1) mempunyai sisa yang sama maka nilai p adalah ...
a.    7
b.    5
c.    3
d.    -5
e.    -7
PEMBAHASAN:
Misalkan f(x) =
Dibagi (x + 1) maka x = -1
      f(-1) = g(-1)

      -1 – 4 – p + 6 = 1 – 3 – 2
      1 – p = -4
     p = 5
JAWABAN: B

15.    Suku banyak jika dibagi (x – 2) tersisa 7, sedangkan suku banyak tersebut dibagi (x + 3) akan memberikan sisa 182. Nilai dari = ...
a.    1
b.    4
c.    9
d.    16
e.    25
PEMBAHASAN:
-    Dibagi (x – 2) sisa 7, maka:
     f(2) = 7

    16 + 8a + 8 + 2b + 5 = 7
    8a + 2b = -22
    4a + b = -11 ... (i)
-    Dibagi (x + 3) sisanya 182
     f(-3) = 182

     81 – 27a + 18 – 3b + 5 = 7
     -27a – 3b = 78
     9a + b = -26 ... (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

subtitusikan a = -3 dalam 4a + b = -11
4(-3) + b = -11
-12 + b = -11
b = 1
Nilai dari

JAWABAN: E

16.    Suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – 2) sisanya 8, dan jika dibagi (x + 3) sisanya -7. Sisa pembagian suku banyak F(x) oleh x^2 + x – 6 adalah ...
a.    9x – 7
b.    x + 6
c.    2x + 3
d.    x – 4
e.    3x + 2
PEMBAHASAN:
Misalkan sisa pembagian x^2 + x – 6 atau (x – 2) (x + 3) adalah px + q
F(x) dibagi (x – 2) sisanya 8, maka: F(2) = 8 atau 2p + q = 8 ... (i)
F(x) dibagi (x + 3) sisanya -7, F(-3) = -7 atau -3p + q = -7 ... (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

Subtitusikan p = 3 pada persamaan 2p + q = 8
2 (3) + q = 8
6 + q = 8
q = 8 – 6
q = 2
jadi, sisa pembagiannya adalah 3x + 2
JAWABAN: E

17.    Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x^2 – 1) sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh (x – 2) sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh (x^2 – 3x + 2) adalah ...
a.    12x – 23
b.    -12x + 1
c.    -10x + 1
d.    24x + 1
e.    24x – 27
PEMBAHASAN:
•    P(x) dibagi (x^2 – 1) sisanya 12x – 23, maka:
     P(x) = H(x)(x + 1)(x – 1) + (12x – 23)
     x = -1 -->>  sisa = 12(-1) – 23 = -12 – 23 = -35
     x = 1 -->>  sisa = 12(1) – 23 = -11
•    P(x) dibagi (x – 2) sisa 1, maka:
     x = 2 -->>  sisa = 1
Sisa pembagian suku banyak oleh (x^2 – 3x + 2) adalah:
P(x) = H(x)(x^2 – 3x + 2) + (px + q)
         = H(x)(x – 1)(x – 2) + (px + q)

Subtitusikan p = 12 dalam persamaan p + q = -11
12 + q = -11
q = -11 – 12
q= -23
Jadi, sisa pembagiannya adalah 12x - 23
JAWABAN: A

18.    Suku banyak berderajat tiga P(x) = x^3 + 2x^2 + mx + n dibagi dengan x^2 – 4x + 3 mempunyai sisa 3x + 2 maka nilai n = ...
a.    -20
b.    -16
c.    10
d.    16
e.    20
PEMBAHASAN:
Pembagi x^2 – 4x + 3 memiliki bentuk lain (x – 3 ) (x – 1), sehingga nilai x = 3 dan x = 1, maka:
•    P(x) = x^3 + 2x^2 + mx + n 
     P(1) = 1^3 + 2(1)^2 + m(1) + n
              = 1 + 2 + m + n
              = 3 + m + n
Sisa dari P(1) adalah 3x + 2 = 3 (1) + 2 = 5
Maka 3 + m + n = 5 atau m + n = 2 ... (i)
•    P(3) = 3^3 + 2(3)^2 + m(3) + n
              = 27 + 18 + 3m + n
              = 45 + 3m + n
Sisa dari P(3) adalah 3x + 2 = 3(3) + 2 = 11
Maka 45 + 3m + n = 11, atau 3m + n = -34 ...(ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

Subtitusikan m = -18 dalam persamaan m + n = 2
-18 + n = 2
n = 20
JAWABAN: E


19.    Persamaan 2x^3 + px^2 + 7x + 6 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah ..
a.    -9
b.    2,5
c.    3
d.    4,5
e.    9
PEMBAHASAN:
2x^3 + px^2 + 7x + 6 = 0 mempunyai akar x = 2, maka:
2(2)^3 + p(2)^2 + 7(2) + 6 = 0
16 + 4p + 14 + 6 = 0
4p = -36
p = -9
Maka persamaannya menjadi: 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 = 0, dari persamaan ini diketahui: a = 2, b = -9, c = 7, dan d = 6. Maka penjumlahan ketika akarnya adalah:
x1 + x2+ x3 = -b/a = -(-9)/2 = 4,5
JAWABAN: D

20.    Bila f(x) dibagi oleh x + 2 mempunyai sisa 14, dan dibagi x – 4 sisa -4, maka bila f(x) dibagi oleh (x^2 – 2x – 8) mempunyai sisa...
a.    3x – 8
b.    -3x + 8
c.    8x + 3
d.    8x – 3
e.    -3x – 8
PEMBAHASAN:
f(x) dibagi oleh x + 2 mempunyai sisa 14, maka f(-2) = 14
f(x) dibagi oleh x – 4 sisa -4, maka f(4) = -4
f(x) = H(x). (x^2 – 2x – 8) + (px + q)
       = H(x). (x – 4) (x + 2) + (px + q)
•    f(-2) = 14, maka -2p + q = 14 ... (i)
•    f(4) = -4, maka 4p + q = -4 ... (ii)
eliminasikan (i) dan (ii):

subtitusikan p = -3 dalam persamaan 4p + q = -4
4(-3) + q = -4
-12 + q = -4
q = 8
Jadi, sisa pembagiannya adalah -3x + 8
JAWABAN: B

21.    Suku banyak f(x) dibagi (x + 5) memberikan sisa (2x – 1) dan dibagi oleh (x – 3) memberikan sisa 7. Sisa pembagian f(x) oleh (x^2 + 2x – 15) adalah ...
a.    3x – 2
b.    3x + 1
c.    9x + 1
d.    9/4x + ¾
e.    9/4x + ¼
PEMBAHASAN:
•    f(x) dibagi (x + 5) memberikan sisa (2x – 1), maka:
     f(x + 5) = 2x – 1
     f(-5) = 2(-5) – 1
              = -11
•    f(x) dibagi (x - 3) memberikan sisa 7, maka:
     f(x - 3) = 7
     f(3) =7
 f(x) = H(x). (x2 + 2x – 15) + (px + q)
        = H(x). (x – 3) (x + 5) + (px + q)
•    f(-5) = -11
     -5p + q = -11 ... (i)
•    f(3) = 7
     3p + q = 7.... (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):

Subtitusikan p = 9/4 dalam persamaan 3p + q = 7:
3(9/4) + q = 7
27/4 + q = 7
q = 7 – 27/4
q = 28/4 – 27/4
q = 1/4
Jadi, sisanya px + q = 9/4x + 1/4
JAWABAN: E

22.    Bila x^3 – 4x^2 + 5x + p dan x^2 + 3x – 2 dibagi oleh x + 1 memberikan sisa sama maka p sama dengan ...
a.    1
b.    2
c.    3
d.    4
e.    6
PEMBAHASAN:
Misalkan:
f(x) = x^3 – 4x^2 + 5x + p
g(x) = x^2 + 3x – 2
Karena kedua suku banyak memiliki sisa yang sama, maka:
f(x) = g(x)
f(-1) = g(-1)
x^3 – 4x^2 + 5x + p = x^2 + 3x – 2
(-1)^3 – 4(-1)^2 + 5(-1) + p = (-1)^2 + 3(-1) – 2
-1 – 4 – 5 + p = 1 – 3 – 2
-10 + p = -4
p = -4 + 10
p = 6
JAWABAN: E

23.    Jika P(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 13x + a dibagi dengan (x + 3) bersisa 2 maka P(x) dibagi (x + 1) akan bersisa ...
a.    2
b.    -3
c.    4
d.    -5
e.    6
PEMBAHASAN:
P(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 13x + a dibagi dengan (x + 3) bersisa 2, maka:
P(-3) = 2
x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 13x + a = 2
(-3)^4 + 5(-3)^3 + 9(-3)^2 + 13(-3) + a = 2
81 – 135 + 81 – 39 + a = 2
-12 + a = 2
a = 2 + 12
a = 14
maka P(x) menjadi: P(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 13x + 14
Bila P(x) dibagi (x + 1) maka akan memiliki sisa:
P(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^3 + 9(-1)^2 + 13(-1) + 14
          = 1 – 5 + 9 – 13 + 14
          = 6
JAWABAN: E

24.    Jika x^3 – 1 = (x – 2)(x – 3)(x + a) + bx + c maka nilai dari b – c adalah ...
a.    48
b.    49
c.    50
d.    51
e.    52
PEMBAHASAN:
x^3 – 1 = (x – 2)(x – 3)(x + a) + bx + c
x^3 – 1 = (x^2 – 3x – 2x + 6)(x + a) + bx + c
x^3 – 1 = (x^2 – 5x + 6)(x + a) + bx + c
x^3 – 1 = x^3 + ax^2 – 5x^2 – 5ax + 6x + 6a + bx + c
x^3 – 1 = x^3 + ax^2 – 5x^2 – 5ax + 6x + bx + 6a + c
x^3 – 1 = x^3 + (a– 5)x^2 + (-5a + 6 + b)x + 6a + c
supaya koefisien x^2 bernilai 0, maka nilai a adalah:
a – 5 = 0
a = 5
Selanjutnya, nilai b adalah: perlu diketahui bahwa koefisien x juga 0, maka:
-5a + 6 + b = 0
-5(5) + 6 + b = 0
-25 + 6 + b = 0
-19 + b = 0
b = 19
Selanjutnya 6a + c bernilai -1, maka:
6a + c = -1
6(5) + c = -1
30 + c = -1
c = -1 – 30
c = -31
Jadi, nilai b – c = 19 – (-31) = 19 + 31 = 50
JAWABAN: C

25.    Diketahui suku banyak p(x) = ax^6 + bx^4 + cx – 2007, dengan a, b, dan c konstan. Jika suatu suku banyak p(x) bersisa -2007 bila dibagi oleh (x – 2007) dan juga bersisa -2007 bila dibagi oleh (x + 2007) maka nilai c = ...
a.    -2007
b.    -1
c.    0
d.    10
e.    2007
PEMBAHASAN:
•    p(x) = ax^6 + bx^4 + cx – 2007 dibagi oleh (x – 2007) bersisa -2007, maka:
     p(2007) = -2007
•    p(x) = ax^6 + bx^4 + cx – 2007 dibagi oleh (x + 2007) memiliki sisa -2007:
     p(-2007) = -2007
Misalkan 2007 = D, maka:
P(D) = aD^6 + bD^4 + cD – D = -D
          = aD^6 + bD^4 + cD = -D + D
          =  aD^6 + bD^4 + cD = 0 ...(i)
P(-D) = a(-D)^6 + b(-D)^4 + c(-D ) – D = -D
           = aD^6 + bD^4 – cD = 0 ...(ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):

JAWABAN: C

Gimana... sudah cukup "banyak" kah latihan kita tentang suku banyak? hehe.. Mau soal yang lebih "banyak" lagi? tunggu postingan selanjutnya yaa... happy trying...