CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG TRANSFORMASI GEOMETRI

Hallo adik-adik.. ketemu lagi sama kakak... hari ini kita akan belajar tentang transformasi.. cekidot..

Haii.. kalian juga bisa pelajari materi ini di chanel youtube ajar hitung lho.. yuk klik video di bawah ini jika kalian mau belajar lewat video:

1.     Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = -x, dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah...
a.    y + 2x – 3 = 0
b.    y – 2x – 3 = 0
c.    2y + x – 3 = 0
d.    2y – x – 3 = 0
e.    2y + x + 3 = 0
PEMBAHASAN:
Kalian catat rumusnya ya:
-    Matriks refleksi terhadap garis y = x adalah:
-    Matriks refleksi terhadap garis y = -x adalah:
Mari kita kerjakan soal di atas:
Pada soal di atas diketahui bahwa garis y = 2x – 3 di refleksikan terhadap garis y = -x, berarti T1 = dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap y = x berarti T2 =
Maka, transformasinya adalah:

Jadi, bayangan dari y = 2x – 3 adalah –y = -2x – 3 atau y – 2x - 3 = 0
JAWABAN: B  

2. Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks , kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah ...
a.    x + y – 3 = 0
b.    x – y – 3 = 0
c.    x + y + 3 = 0
d.    3x + y + 1 = 0
e.    x + 3y + 1 = 0
PEMBAHASAN:
Di stabillo nih rumusnya dik adik...
-    matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah:
-    Transformasi T1 lalu dilanjutkan transformasi T2 maka matriks transformasinya adalah T2 o T1
Yuks... kita kerjain:
Pada soal diketahui T1 = dan T2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, berarti T2 = 

Sehingga matriks transformasinya:

Dari hasil transformasi di atas didapatkan:
x’ = x + 2y
x = x’ – 2y
dan
y’ = -y
y = -y’
Maka kurva y = x + 1 memiliki bayangan:
-y’ = (x’ - 2y) + 1
-y’ = x’ -  2y + 1
-y’ = x’ - 2(-y’) + 1
-y’ = x’ + 2y’ + 1
x’ + 3y’ + 1 = 0
atau
x + 3y + 1 = 0
JAWABAN: E

3.    Jika transformasi T1, memetakan (x, y) ke (-y, x) dan transformasi T2 menyatakan (x, y) ke (-y, -x) dan jika transformasi T merupakan transformasi T1 yang diikuti oleh transformasi T2, maka matriks T adalah ...

PEMBAHASAN:
Yuks dicatat rumusnya dik adik:
Rotasi +90⁰ yang berpusat di titik O(0, 0) memiliki matriks:
-    T1 merupakan rotasi +90⁰ dengan pusat O(0,0) maka matriksnya adalah:
-    T2 merupakan pencerminan y = -x, maka matriksnya:

JAWABAN: C

4.    Bayangan kurva y = 3x – 9x² jika di rotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90⁰dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ...
a.    x = 3y² – 3y
b.    x = y² + 3y
c.    x = y² + 3y
d.    y = 3x² – 3x
e.    y = x² + 3y
PEMBAHASAN:
Rumusnya boleh lho dicatat dibuku kalian dek:
-    Rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90⁰ memiliki matriks:
-    Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 memiliki matriks:

T1 = dan T2 =
T2 o T1 =
Maka matriks transformasinya adalah:

Dari matriks transformasi di atas didapatkan:
x’ = -3y, maka y = -1/3 x’ dan
y’ = 3x, maka x = 1/3y’
Jadi, bayangan kurva y = 3x – 9x² menjadi:
y = 3x – 9x²
-1/3x’ = 3(1/3y’) – 9(1/3y’)²
-1/3x’ = y’ - y’²(hasil perkalian 3)
-x’ = 3y’ – 3y’²x’ = 3y² – 3y’ (hasil perkalian -)
Jadi, bayangannya adalah x = 3y² – 3y
JAWABAN: A

5.    Transformasi T berupa rotasi yang disusul dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar 90^0 terhadap pusat koordinat dalam arah transformasi dapat ditulis sebagai...

PEMBAHASAN:
Yuk diingat lagi rumusnya... Pada soal di atas T1 adalah rotasi 90⁰dengan pusat O (0, 0), makanya matriksnya:
Sedangkan T2 adalah pencerminan terhadap garis y = x, makanya memiliki matriks:

T2 o T1 =
JAWABAN: B

6.    Persamaan bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 oleh rotasi (0, 90⁰) dilanjutkan refleksi terhadap garis y = -x adalah ...
a.    5y + 2x + 10 = 0
b.    5y – 2x – 10 = 0
c.    2y + 5x +10 = 0
d.    2y + 5x – 10 = 0
e.    2y – 5x + 10 = 0
PEMBAHASAN:
T1 adalah rotasi dengan pusat O (0, 0), memiliki matriks:
T2 adalah refleksi terhadap garis y = -x, memiliki matriks:
T2 o T1 =
Maka:

Dari transformasi di atas, didapatkan:
x’ = -x, sehingga x = -x’
y’ = y, sehingga y = y’
Jadi, bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 adalah:
2y – 5x – 10 = 0
2y’ – 5(-x’) – 10 = 0
2y’ + 5x’ – 10 = 0 atau 2y + 5x – 10 = 0
JAWABAN: D

7.    Diketahui translasi Titik-titik A’ dan B’ berturut-turut adalah bayangan titik-titik A dan B oleh komposisi transformasi T1 o T2. Jika A(-1, 2), A’(1, 11), dan B’(12, 13) maka koordinat titik B adalah...
a.    (9, 4)
b.    (10, 4)
c.    (14, 4)
d.    (10, -4)
e.    (14, -4)
PEMBAHASAN:
Titik A(-1, 2) memiliki bayangan A’(1, 11) maka:

    2 + a = 1
    a = -1 dan
    4 + b = 11
    b = 7
Titik B(x, y) memiliki bayangan B’(12, 13), maka:

     x = 10 dan
     y + 9 = 13
     y = 4
Jadi, koordinat titik B adalah (10, 4)
JAWABAN: B

8.    Elips dengan persamaan kemudian diputar 90⁰ dengan pusat (-1, 2). Persamaan bayangan elips tersebut adalah ...
 
PEMBAHASAN:
Matriks rotasi 90⁰ adalah:
(x, y) digeser sejauh didapatkan:

Sehingga didapatkan:
x’ = x – 1
dan
y’ = y + 2
Bayangan x dan y diputar 90 derajat dengan pusat (-1, 2), maka:

Sehingga didapatkan:
x’’ + 1 = -y’ + 2
x’’ + 1 = -(y + 2) + 2
x’’ + 1 = -y
y = -x’’ – 1 = -(x’’ + 1)
dan
y’’ – 2 = x’ + 1
y’’ – 2 = x – 1 + 1
y’’ – 2 = x
x = y’’ – 2
Sehingga bayangan dari elips 4x² + 9y² = 36 adalah:

JAWABAN: D

9.    Titik P(x, y) ditransformasikan oleh matriks . Bayangannya ditransformasikan oleh matriks . Bayangan titik P adalah ...
a.    (-x, -y)
b.    (-x, y)
c.    (x, -y)
d.    (-y, x)
e.    (-y, -x)
PEMBAHASAN:
Pada soal diketahui:
T1 =
T2 =
Maka transformasi matriksnya:

Jadi, bayangan titik P(x, y) adalah:

Sehingga didapatkan:
x’ = -y, maka y = -x’
y’ = -x, maka x = -y’
Jadi, bayangannya P’(-y’, -x’)
JAWABAN: E

10.    T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks . Bayangan A(m, n) oleh transformasi T1 o T2 adalah A’(-9, 7). Nilai m + n adalah ...
a.    4
b.    5
c.    6
d.    7
e.    8
PEMBAHASAN:

Karena bayangan A’(-9, 7), maka:

Sehingga didapatkan persamaan:
-x – 3y = -9 .... (i), dan
-5x + 11y = 7 ... (ii)
Kita eliminasi (i) dan (ii) yuks:

Subtitusikan y = 2, dalam persamaan –x – 3y = -9
-x – 3y = -9
-x – 3(2) = -9
-x – 6 = -9
x = 3
Karena titik A(m, n) = (3, 2), maka nilai m + n = 3 + 2 = 5
JAWABAN: B

11.    Oleh matriks A = titik P(1,2 ) dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P’(2, 3) dan Q’(2, 0). Koordinat titik Q adalah ...
a.    (1, -1)
b.    (-1, 1)
c.    (1, 1)
d.    (2, -1)
e.    (1, 0)
PEMBAHASAN:
Oleh matriks A = titik P(1,2 ) memiliki bayangan P’(2, 3), maka:

Sehingga diperoleh:
3a + 2 = 2
3a = 0
a = 0
Karena a = 0, maka matriks A menjadi:
Titik Q ditransformasikan oleh matriks A, didapatkan bayangan Q’(2, 0), maka titik Q adalah:

Sehingga kita dapatkan:
2x = 2
x = 1
dan
x + y = 0
1 + y = 0
y = -1
Maka titik Q adalah (1, -1)
JAWABAN: A 

12.    Garis yang persamaannya x – 2y + 3 = 0 ditransformasikan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks . Persamaan bayangan garis itu adalah ...
a.    3x + 2y – 3 = 0
b.    3x - 2y – 3 = 0
c.    3x + 2y + 3 = 0
d.    -x + y + 3 = 0
e.    x - y + 3 = 0
PEMBAHASAN:
Yuks kita cari dulu sembarang titik yang melalui garis x – 2y + 3 = 0
Misalkan x = 1, maka 1 – 2y + 3 = 0 ==> -2y = -4, ==> y = 2 (maka titiknya (1, 2))
Misalkan x = 3, maka 3 – 2y + 3 = 0, ==> -2y = -6 ==> y = 3 (maka titiknya (3, 3))
Selanjutnya kita cari bayangan titik A(1, 2):

Bayangan titik A(1, 2) adalah A’(-5, -8)
Selanjutnya bayangan titik B(3, 3):

Bayangan titik B(3, 3) adalah B’(-6, -9)
Selanjutnya kita cari persamaan garis bayangannya, yaitu garis yang melalui titik A’(-5, -8) dan B’(-6, -9).
Masih ingatkah kalian rumus mencari persamaan garis yang melalui 2 titik? Yuk untuk mengingatkannya kalian boleh lihat disini:

-y – 8 = -x – 5
x – y = -5 + 8
x – y = 3
atau
x – y – 3 = 0
atau
-x + y + 3 = 0
JAWABAN: D


13.    Bayangan titik A(x, y) karena refleksi terhadap garis x = -2 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3, dan rotasi terhadap pusat O dengan sudut phi/2 radian adalah (-4, 6). Koordinat titik A adalah ...
a.    (2, -10)
b.    (2, 10)
c.    (10, 2)
d.    (-10, 2)
e.    (10, 2)
PEMBAHASAN:

Maka:
-(6 – y) = -4
y = -4 + 6
y = 2
dan
-4 – x = 6
x = -10
Maka koordinat bayangan A adalah (-10, 2)
JAWABAN: D

14.    Ditentukan matriks transformasi . Hasil transformasi titik (2, -1) terhadap T1 dilanjutkan T2 adalah ...
a.    (-4, 3)
b.    (-3, 4)
c.    (3, 4)
d.    (4, 3)
e.    (3, -4)
PEMBAHASAN:

Jadi, bayangan titik (2, -1) adalah:

Bayangan dari titik itu adalah titik (-4, 3)
JAWABAN: A


15.    Sebuah lingkaran dengan pusat P(3, 2) dan jari-jari 5 dirotasikan R(0, 90^0) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah...
a.    x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0
b.    x² + y² - 4x - 6y – 12 = 0
c.    x² + y² - 4x + 6y – 12 = 0
d.    x² + y² + 6x + 4y – 12 = 0
e.    x² + y² + 6x - 4y – 12 = 0
PEMBAHASAN:
Dalam hal ini, lingkaran jika dirotasi atau dicerminkan tidak akan mengubah panjang jari-jarinya.

Sehingga, persamaan lingkaran berjari-jari 5 (tidak berubah) dan memiliki titik pusat (-2, -3) adalah:
Ingat rumusnya ya dik adik:

JAWABAN: A


16.    Garis dengan persamaan 2x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks . Persamaan bayangannya adalah ...
a.    x – 2y + 4 = 0
b.    x + 2y + 4 = 0
c.    x + 4y + 4 = 0
d.    y + 4 = 0
e.    x + 4 = 0
PEMBAHASAN:
Dari soal kita ketahu bahwa T1 adalah pencerminan terhadap garis y = x, memiliki matriks:
dan T2 adalah , maka matriks tansformasinya adalah:

Kita cari bayangan x dan y dulu ya:

Sehingga kita dapatkan:
x’ = 2x + y dan y’ = x
Bayangan garis 2x + y + 4 = 0 adalah:
(2x + y) + 4 = 0
x’ + 4 = 0 atau x + 4 = 0
JAWABAN: E


17.    Titik A(x, 12) ditranslasikan secara berurutan oleh T1 = (-3, 7), T2 = (2, 3) dan T3 = (4, -1) sehingga menghasilkan bayangan A’(8, y). Nilai-nilai x dan y adalah ...
a.    -5 dan 21
b.    5 dan -21
c.    5 dan 21
d.    -21 dan 5
e.    -21 dan -5
PEMBAHASAN:

Kita peroleh:
x + 3 = 8
x = 5
Dan y = 21
JAWABAN: C


18.    Garis dengan persamaan y = 2x + 3 dicerminkan terhadap sumbu x kemudian diputar dengan R (0, 90⁰). Persamaan bayangannya adalah...
a.    x – 2y – 3 = 0
b.    x + 2y – 3 = 0
c.    2x – y – 3 = 0
d.    2x + y – 3 = 0
e.    2x + y + 3 = 0
PEMBAHASAN:
T1 adalah pencerminan terhadap sumbu x, memiliki matriks: dan T2 adalah rotasi 90 derajat, memiliki matriks: . Maka:

Sehingga bayangan x dan y nya adalah:

Kita peroleh:
x’ = y atau y = x’
dan
y’ = x atau x = y’
Sehingga bayangan dari persamaan y = 2x + 3 adalah:
y = 2x + 3
x’ = 2y’ + 3
2y’ - x’ + 3 = 0
atau
x – 2y – 3 = 0
JAWABAN: A


19.    Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat O(0, 0) sejauh +90⁰, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah ...
a.    x + 2y + 4 = 0
b.    x + 2y - 4 = 0
c.    2x + y + 4 = 0
d.    2x - y - 4 = 0
e.    2x + y - 4 = 0
PEMBAHASAN:
T1 adalah rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh +90⁰, sehingga memiliki matriks: dan T2 pencerminan terhadap garis y = x, sehingga memiliki matriks:

Selanjutnya kita cari bayangan x dan y:

Kita dapatkan x’ = x dan y’ = -y
Jadi, bayangan x – 2y + 4 = 0 adalah:
x – 2y + 4 = 0
x’ – 2(-y’) + 4 = 0
x’ + 2y’ + 4 = 0
atau
x + 2y + 4 = 0
JAWABAN: A


20.    Bayangan kurva y = sin x oleh refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi berpusat di O(0, 0) dan faktor skala ½ adalah kurva ...
a.    sin 2x
b.    y = ½ sin x
c.    y = sin x cos x
d.    y = -sin x cos x
e.    y = -sin 2x
PEMBAHASAN:

Jadi, bayangan x dan y adalah:
x’ = ½ x, sehingga x = 2x’
y’ = - ½ y  sehingga y = -2y’
Maka bayangan dari y = sinx adalah:
-2y’ = sin 2x’
y’ = - ½ sin 2x
y’ = - ½ (2.sin x’ . cos x’)
y’ = - sinx’.cosx’
atau
y = -sinx . cosx
JAWABAN: D


21.    Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap sumbu y kemudian dilanjutkan dengan transformasi sesuai dengan matriks menghasilkan titik (1, -8) maka nilai a + b = ...
a.    -3
b.    -2
c.    -1
d.    1
e.    2
PEMBAHASAN:
T1 adalah pencerminan terhadap sumbu y, sehingga memiliki matriks: dan T2 =

Selanjutnya kita cari a dan b:

Sehingga kita peroleh:
2a + b = 1 dan,
-a + 2b = -8
Yuk kita eliminasikan kedua persamaan di atas untuk mencari nilai a dan b:

Subtitusikan a = 2, dalam persamaan 2a + b = 1
2a + b = 1
2(2) + b = 1
4 + b = 1
b = 1 – 4
b = -3
Maka, nilai a + b = 2 + (-3) = -1
JAWABAN: C


22.    Matriks transformasi yang mewakili pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan rotasi 90⁰

 berlawanan arah jarum jam dengan pusat O adalah ...

PEMBAHASAN:
T1 adalah pencerminan terhadap sumbu x, sehingga memiliki matriks: dan T2 adalah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, sehingga memiliki matriks:

JAWABAN: C

Sekian dulu belajar transformasi bersama kakak... Ingat pesan kakakya, kita ga tau akan jadi seperti apa di masa depan. Yang bisa kita lakukan adalah berusaha melakukan yang terbaik di saat ini...:)